题文

在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE=x，△AEF的面积为y。 （1）求线段AD的长； （2）若EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时， ①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）； ②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值； （3）若F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵AC=3，BC=4 ∴AB=5 ∵AC·BC=AB·CD， ∴CD=，AD=； （2）①当0＜x≤时 ∵EF∥CD ∴△AEF∽△ADC ∴ 即EF=x ∴y=·x·x= 当＜x≤5时 易得△BEF∽△BDC，同理可求EF=（5-x） ∴y=·x·（5-x）=≤ ②当0＜x≤时，y随x的增大而增大， ，即当x=时，y最大值为 当＜x≤5时， ∵ ∴当时，y的最大值为 ∵＜ ∴当时，y的最大值为； （3）假设存在 当0＜x≤5时，AF=6-x ∴0＜6-x＜3 ∴3＜x＜6 ∴3＜x≤5 作FG⊥AB与点G 由△AFG∽△ACD可得 ∴，即FG= ∴x·= ∴=3，即2x2-12x+5=0 解之得， ∵3＜x1≤5 ∴x1=符合题意 ∵x2=＜3 ∴x2不合题意，应舍去 ∴存在这样的直线EF，此时，x=。

如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴

已知抛物线与x轴交于A（-1，

已知二次函数y=ax2+bx+c的图

已知：在矩形AOBC中，OB=4，

已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的