题文

已知圆P的圆心在反比例函数图象上，并与x轴相交于A、B两点，且始终与y轴相切于定点C（0，1）。 （1）求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式； （2）若二次函数图象的顶点为D，问当k为何值时，四边形ADBP为菱形。

图1                                                   图2

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）连结PC、PA、PB，过P点作PH⊥x轴，垂足为H， ∵⊙P与y轴相切于点C（0，1）， ∴PC⊥y轴， ∵P点在反比例函数的图象上， ∴P点坐标为（k，1）， ∴PA=PC=k．在Rt△APH中，AH=， ∴OA=OH-AH=k-， ∴A（k-，0）， ∵由⊙P交x轴于A、B两点，且PH⊥AB，由垂径定理可知，PH垂直平分AB， ∴OB=OA+2AH=k-+2=k+， ∴B（k+，0）， 故过A、B两点的抛物线的对称轴为PH所在的直线解析式为x=k， 可设该抛物线解析式为y=a+h， 又抛物线过C（0，1），B（k+，0）， 得： 解得a=1，h=1-， ∴抛物线解析式为y=， （2）由（1）知抛物线顶点D坐标为（k，1-） ∴DH=-1， 若四边形ADBP为菱形，则必有PH=DH， ∵PH=1， ∴-1=1， 又∵k＞1， ∴k=， ∴当k取时，PD与AB互相垂直平分，则四边形ADBP为菱形。

图1 图2

据专家权威分析，试题“已知圆P的圆心在反比例函数图象上，并与x轴相交于A、B两点，且始..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，菱形，菱形的性质，菱形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用菱形，菱形的性质，菱形的判定

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。