在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点（2，3）和（-3，-12）。（1）求此二次函-九年级数学
题文
| 在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点（2，3）和（-3，-12）。 （1）求此二次函数的表达式； （2）若直线l：y=kx（k≠0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角∠PCO与∠ACO的大小（不必证明），并写出此时点P的横坐标xp的取值范围。 |
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答案
| 解：（1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点（2，3）和（-3，-12）， ∴由  解得  ∴此二次函数的表达式为  ；（2）假设存在直线l：  与线段BC交于点D（不与点B，C重合），使得以 为顶点的三角形与 相似，在  中，令y=0，则由 ，解得 ， 令x=0，得y=3，  设过点O的直线l交BC于点D，过点D作  轴于点E，∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（-1，0），   要使  或 ，已有  ，则只需 ，① 或 ② 成立，若是①，则有  ，而  ，在  中，由勾股定理，得 ，解得  （负值舍去）， ∴点D的坐标为  ，将点D的坐标代入  中，求得k=3，∴满足条件的直线的函数表达式为y=3x， ［或求出直线AC的函数表达式为  ，则与直线AC平行的直线的函数表达式为y=3x，此时易知 ，再求出直线BC的函数表达式为 ，联立 ，求得点D的坐标为 ］若是②，则有  ，而  ，∴在  中，由勾股定理，得 ，解得  （负值舍去） ∴点D的坐标为（1，2）， 将点D的坐标代入  中，求得k=2，∴满足条件的直线l的函数表达式为y=2x， ∴存在直线l：y=3x或y=2x与线段BC交于点D（不与点B，C重合），使得以  为顶点的三角形与 相似，且点D的坐标分别为 或（1，2）；（3）设过点C（0，3），E（1，0）的直线  与该二次函数的图象交于点P，将点E（1，0）的坐标代入  中，求得k=-3，∴此直线的函数表达式为  ，设点P的坐标为  ，并代入 ，得 ，解得  （不合题意，舍去）
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