题文

如图1，点A是直线y=kx（k＞0，且k为常数）上一动点，以A为顶点的抛物线y=（x-h）2+m交直线y=x于另一点E，交y轴于点F，抛物线的对称轴交x轴于点B，交直线EF于点C（点A，E，F两两不重合）。

（1）请写出h与m之间的关系；（用含的k式子表示） （2）当点A运动到使EF与x轴平行时（如图2），求线段AC与OF的比值； （3）当点A运动到使点F的位置最低时（如图3），求线段AC与OF的比值。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解（1）∵抛物线顶点（h，m）在直线y=kx上， ∴m=kh； （2）解方程组， 将（2）代入（1）得到：（x-h）2+kh=kx， 整理得：（x-h）[（x-h）-k]=0， 解得：x1=h，x2=k+h ， 代入到方程（2）y1=hy2=k2+hk 所以点E坐标是（k+h，k2+hk） 当x=0时，y=（x-h）2+m=h2+kh， ∴点F坐标是（0，h2+kh） 当EF和x轴平行时，点E，F的纵坐标相等， 即k2+kh=h2+kh 解得：h=k（h=-k舍去，否则E，F，O重合） 此时点E（2k，2k2），F（0，2k2），C（k，2k2），A（k，k2） ∴AC∶OF=k2∶2k2=1∶2；  （3）当点F的位置处于最低时，其纵坐标h2+kh最小， ∵h2+kh=， 当h=，点F的位置最低，此时F（0，-） 解方程组得E（），A（） 设直线EF的解析式为y=px+q，将点E（），F（0，-） 的横纵坐标分别代入得，解得：p=，q=-， ∴直线EF的解析式为， 当x=-时，y=-k2，即点C的坐标为（-，-k2）， ∵点A（-），所以AC=，而OF=， ∴AC=2OF，即AC∶OF=2。

据专家权威分析，试题“如图1，点A是直线y=kx（k＞0，且k为常数）上一动点，以A为顶点的抛物..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；