题文

将一条抛物线y=x2+x+以其顶点为中心旋转180°后，与x轴正半轴交于A点，与y 轴交于B点，在第二象限内存在一点C（a，1），顺次连接A、B、C、O得到一个四边形，过B 点作直线l将此图形分成面积相等的两部分，求： （1）旋转后的抛物线解析式； （2）直线l的解析式。（用a表示）

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）将y=x2+x+配方后得： ∴旋转后的抛物线解析式为：y=-（x+ 即：y=-x2-x+2。
（2）∵y=-x2-x+2， ∴A（1，0），B（0，2） ①当-1＜a＜0时，如图①，过C作CD∥y轴交x 轴于D，连接BD， S△BCO=S△BDO， 则S△BDA=S四边形BCOA，取DA中点M，作直线BM，直线BM即为所求 ∵C（a，1）， ∴D（a，0） ∵A（1，0）， ∴线段DA中点M的坐标为 设直线l的解析式为y=kx+2， ∴0=k· ∴ ∴直线l的解析式为y=。
②当a=-1时，如图②， 用①的方法操作，可知y轴为符合题意的直线l 即直线l的解析式为x=0。
③当a＜-1时，如图③， 连接CA并取中点D，连接BD、DO， ∴S四边形BCDO=S四边形BAOD 过D点作DH//y轴，交OC于M，交x轴于H，作直线BM ∴S△BDO=S△BMO， 即S△BCM=S四边形BMOA 即直线BM是符合题意的直线l 过C点作CG∥y轴，交x轴于G， ∴H为GA的中点， ∵G（a，0），A（1，0） ∴ 设M坐标为（xm，ym），则xm= 设直线OC的解析式为y= M在OC上 ∴ ∴M坐标为 设直线l的解析式为y=kx+2 ∴ ∴ ∴直线l的解析式为y= 综上所述：当-1＜a＜0时，直线l的解析式为y= 当a=-1时，直线l的解析式为x=0 当a＜-1时，直线l的解析式为y=

据专家权威分析，试题“将一条抛物线y=x2+x+以其顶点为中心旋转180°后，与x轴正半轴交于..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，求一次函数的解析式及一次函数的应用，图形旋转  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用求一次函数的解析式及一次函数的应用图形旋转

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。