题文

如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点P在AC上，PQ⊥BP，交CD于Q，PE⊥CD，交于CD于E，点P从A点（不含A）沿AC方向移动，直到使点Q与点C重合为止。 （1）设AP=x，△PQE的面积为S，请写出S关于x的函数解析式，并确定x的取值范围。 （2）点P在运动过程中，△PQE的面积是否有最大值？若有，请求出最大值及此时AP的取值；若无，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）过点P作PF⊥BC，垂足为F， ∵在矩形ABCD中，PF∥AB， ∴△PFC∽△ABC， ∴， 又∵AP=x，BC=AD=1，AB=2 又∵在Rt△ABC中，AC=， ∴PC=3-x， ∴， ∴FC= ∴BF=BC-FC=， 又∵PE⊥CD， ∴∠PEC=90° 又在四边形PFCE中，∠PFC=∠BCD=∠PEC=90° ∴四边形PFCE为矩形 ∴∠FPE=90° 又∵PQ⊥BP ∴∠BPQ=90° ∴∠FPE=∠BPQ ∴∠EPQ+∠QPF=∠BPF+∠FPQ ∴∠EPQ=∠BPF 又∠PEQ=∠BFP=90° ∴△PEQ∽△PFB， 又 ∴，又 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴或 过点B作BK⊥AC，垂足为K， 在Rt△ABC中， 由等积法可得AC·BK=AB·BC， ∴AC·BK=AB·BC 3×BK=2×1 ∴BK= 由题意可得当Q与C重合时，P与K重合即AP=AK， 由△ABK∽△ABC得即 ∴x= ∴x的取值范围是0＜x≤； （2）△PQE面积有最大值， 由（1）可得 ， ∴当即时，S面积最大，即S最大=。

据专家权威分析，试题“如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点P在AC上，PQ⊥BP，交CD于Q，P..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用相似三角形的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。