题文

如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，1），二次函数y=x2的图象记为抛物线l1。

（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：______ （任写一个即可）； （2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过A，B两点，记为抛物线l2，如图2，求抛物线l2的函数表达式；（3）设抛物线l2的顶点为C，K为y轴上一点，若S△ABK=S△ABC，求点K的坐标； （4）请在图3上用尺规作图的方式探究抛物线l2上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形，若存在，请判断点P共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）有多种答案，符合条件即可， 例如等； （2）设抛物线l2的函数表达式为， ∵点A（1，2），B（3，1）在抛物线l2上， ∴，解得， ∴抛物线l2的解析式为； （3）， ∴C点的坐标为， 过A，B，C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E，F， 则AD=2，， ∴ =， 延长BA交y轴于点G，设直线AB的函数表达式为y=mx+n， ∵点A（1，2），B（3，1）在直线AB上， ∴，解得， ∴直线AB的函数解析式为， ∴点G的坐标为， 设点K的坐标为（0，h），分两种情况： 若点K位于g点的上方，则KG=h-， 连结AK，BK， ， ∵， ∴，解得， ∴K点的坐标为， 若K点位于G点的下方，则KG=， 同理可得，h=， ∴K点的坐标为； （4）作图痕迹如图③所示，由图③可知，点共有3个可能的位置。

据专家权威分析，试题“如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，尺规作图，平移  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用尺规作图平移

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]