题文

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6，等边三角形DEF从初始位置（点E与点B重合，EF落在BC上，如图1所示）在线段BC上沿BC方向以每秒1个单位的速度平移，DE、DF分别与AB相交于点M、N，当点F运动到点C时，△DEF终止运动，此时点D恰好落在AB上，设△DEF平移的时间为x。 （1）求△DEF的边长； （2）求M点、N点在BA上的移动速度； （3）在△DEF开始运动的同时，如果点P以每秒2个单位的速度从D点出发沿DE·EF运动，最终运动到F点．若设△PMN的面积为y，求y与x的函数关系式，写出它的定义域；并说明当P点在何处时，△PMN的面积最大？

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）当F点与C点重合时，如图1所示： ∵△DEF为等边三角形， ∴∠DFE=60°， ∵∠B=30°， ∴∠BDF=90°， ∴FD=BC=3； （2）过E点作EG⊥AB， ∵∠DEF=60°，∠B=30°， ∴∠BME=30°， ∴EB=EM， 在Rt△EBG中，BG=x×cos30°=x， ∴BM=2BG=x， ∴M点在BA上的移动速度为，F点作FH⊥F1D1， 在Rt△FF1H中，FH=x×cos30°=x， 点N在BA上的移动速度为； （3）在Rt△DMN中，DM=3-x，MN=（3-x）×cos30°=（3-x）， 当P点运动到M点时，有2x+x=3， ∴x=1 ①当P点在DM之间运动时，过P点作PP1⊥AB，垂足为P1在Rt△PMP1中，PM=3-x-2x=3-3x， ∴PP1=（3-3x）=（1-x）， ∴y与x的函数关系式为： （0≤x≤1）， ②当P点在ME之间运动时，过P点作PP2⊥AB，垂足为P2， 在Rt△PMP2中，PM=x-（3-2x）=3（x-1）， ∴PP2=（1-x）， ∴y与x的函数关系式为： ③当P点在EF之间运动时，过P点作PP3⊥AB，垂足为P3， 在Rt△PMP3中，PB=x+（2x-3）=3（x-1）， ∴PP3=（x-1）， ∴y与x的函数关系式为： ∴当x=2时，y最大=，而当P点在D点时， ∴当P点在D点时，△PMN的面积最大。

据专家权威分析，试题“在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6，等边三角形DEF从初始位置（点..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，等边三角形，解直角三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用等边三角形解直角三角形

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。