题文

已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（5，0）、C（0，5）三点。

（1）求抛物线的函数关系式； （2）若过点C的直线y=kx+b与抛物线相交于点E（4，m），请求出△CBE的面积S的值； （3）在抛物线上求一点P0，使得△ABP0为等腰三角形，并写出P0点的坐标； （4）除（3）中所求的P0点外，在抛物线上是否还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵抛物线经过点、， ∴ 又∵抛物线经过点， ∴， ∴抛物线的解析式为。 （2）∵E点在抛物线上， ∴m=42-4×6+5=-3 ∵直线y=kx+b过点C（0，5）、E（4，-3） ∴ 解得k=-2，b=5 设直线y=-2x+5与x轴的交点为D， 当y=0时，-2x+5=0，解得x= ∴D点的坐标为（，0） ∴S=S△BDC+S△BDE = =10。 （3）∵抛物线的顶点既在抛物线的对称轴上又在抛物线上， ∴点为所求满足条件的点。 （4）除点外，在抛物线上还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形 理由如下： ∵ ∴分别以、为圆心半径长为4画圆，分别与抛物线交于点、、、、A 、、、 除去A、B两个点外，其余6个点为满足条件的点。

据专家权威分析，试题“已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（5，0）、C（0，5）三点..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，求一次函数的解析式及一次函数的应用，二次函数的图像，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用求一次函数的解析式及一次函数的应用二次函数的图像等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax