某旅游胜地欲开发一座景观山,从山的侧面进行勘测,迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成,其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下,BC所在的抛物线以C为顶点、开口向-九年级数学

题文

某旅游胜地欲开发一座景观山,从山的侧面进行勘测,迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成,其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下,BC所在的抛物线以C为顶点、开口向下,以过山脚(点C)的水平线为x轴、过山顶(点A)的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图(单位:百米),已知AB所在抛物线的解析式为y=-x2+8,BC所在抛物线的解析式为y=(x-8)2,且已知B(m,4)。

(1)设P(x,y)是山坡线AB上任意一点,用y表示x,并求点B的坐标;
(2)从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶,这种台阶每级的高度为20厘米,长度因坡度的大小而定,但不得小于20厘米,每级台阶的两端点在坡面上(见图)。
①分别求出前三级台阶的长度(精确到厘米);
②这种台阶不能一直铺到山脚,为什么?
(3)在山坡上的700米高度(点D)处恰好有一小块平地,可以用来建造索道站.索道的起点选择在山脚水平线上的点E处,OE=1600(米),假设索道DE可近似地看成一段以E为顶点、开口向上的抛物线,解析式为y=(x-16)2,试求索道的最大悬空高度。
题型:操作题  难度:偏难

答案

解:(1)∵P(x,y)是山坡线AB上任意一点,

∴x2=4(8-y),
∵B(m,4),

∴B(4,4)。
(2)在山坡线AB上,,A(0,8)
①令y0=8,得x0=0;令y1=8-0.002=7.998

∴第一级台阶的长度为x1-x0=0.08944(百米)≈894(厘米)
同理,令y2=8-2×0.002、y3=8-3×0.002,
可得x2≈0.12649、x3≈0.15492
∴第二级台阶的长度为x2-x1=0.03705(百米)≈371(厘米)
第三级台阶的长度为x3-x2=0.02843(百米)≈284(厘米)。
②取点B(4,4),又取y=4+0.002

∵4-3.99900=0.001<0.002
∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B,从而就不能一直铺到山脚
(3)D(2,7)、E(16,0)、B(4,4)、C(8,0)
由图可知,只有当索道在BC上方时,索道的悬空高度才有可能取最大值
索道在BC上方时
悬空高度
时,ymax=
∴索道的最大悬空高度为米。

据专家权威分析,试题“某旅游胜地欲开发一座景观山,从山的侧面进行勘测,迎面山坡线AB..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用

  • 求二次函数的解析式:
    最常用的方法是待定系数法,根据题目的特点,选择恰当的形式,一般,有如下几种情况:
    (1)已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
    (2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
    (3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两点式;
    (4)已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式。

    二次函数的应用:
    (1)应用二次函数才解决实际问题的一般思路:
    理解题意;
    建立数学模型;
    解决题目提出的问题。
    (2)应用二次函数求实际问题中的最值:
    即解二次函数最值应用题,设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题,然后按求二次函数最值的方法求解。
    求最值时,要注意求得答案要符合实际问题。

  • 二次函数的三种表达形式:
    ①一般式:
    y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为 [,]
    把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组,就能解出a、b、c的值。

    ②顶点式:
    y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同,当x=h时,y最值=k。
    有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
    例:已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10),求y的解析式。
    解:设y=a(x-1)2+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(x-1)2+2。
    注意:与点在平面直角坐标系中的平移不同,二次函数平移后的顶点式中,h>0时,h越大,图像的对称轴离y轴越远,且在x轴正方向上,不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
    具体可分为下面几种情况:
    当h>0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到;
    当h<0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到;
    当h>0,k>0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)2+k的图象;
    当h>0,k<0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;
    当h<0,k>0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;
    当h<0,k<0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

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