题文

如图，已知抛物线l1：y=x2-4的图象与x轴相交于A、C两点，B是抛物线l1上的动点（B不与A、C重合），抛物线l2与l1关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D。 （1）求l2的解析式； （2）求证：点D一定在l2上； （3）□ABCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积（若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积）；如果不能为矩形，请说明理由。注：计算结果不取近似值。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）设l2的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）， ∵l1与x轴的交点为A（-2，0），C（2，0）， 顶点坐标是（0，-4），l2与l1关于x轴对称， ∴l2过A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，4）， ∴，∴a=-1，b=0，c=4， 即l2的解析式为y=-x2+4； （2）设点B（m，n）为l1：y=x2-4上任意一点，则n=m2-4（*） ∵四边形ABCD是平行四边形，点A、C关于原点O对称， ∴B、D关于原点O对称， ∴点D的坐标为D（-m，-n） 由（*）式可知，-n=-（m2-4）=-（-m）2+4， 即点D的坐标满足y=-x2+4， ∴点D在l2上； （3）□ABCD能为矩形； 过点B作BH⊥x轴于H，由点B在l1：y=x2-4上， 可设点B的坐标为（x0，x02-4）， 则OH=|x0|，BH=|x02-4|， 易知，当且仅当BO=AO=2时，□ABCD为矩形， 在Rt△OBH中，由勾股定理得，|x0|2+|x02-4|2=22，（x02-4）（x02-3）=0， ∴x0=±2（舍去）、x0=±， 所以，当点B坐标为B（，-1）或B′（-，-1）时，□ABCD为矩形， 此时，点D的坐标分别是D（-，1）、D′（，1）， 因此，符合条件的矩形有且只有2个，即矩形ABCD和矩形AB′CD′， 设直线AB与y轴交于E，显然，△AOE∽△AHB， ∴， ∴， ∴EO=4-2， 由该图形的对称性知矩形ABCD与矩形AB′CD′重合部分是菱形， 其面积为S=2SΔACE=。

据专家权威分析，试题“如图，已知抛物线l1：y=x2-4的图象与x轴相交于A、C两点，B是抛物线..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，平行四边形的性质，矩形，矩形的性质，矩形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用平行四边形的性质矩形，矩形的性质，矩形的判定

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

  ③交点式：
  y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0] .
  已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x₁，0）和 B（x₂，0）,我们可设y=a(x-x