题文

已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点C在以D（-2，-2）为圆心，4为半径的圆上，且经过⊙D与x轴的两个交点A、B，连接AC、BC、OC。

（1）求点C的坐标； （2）求图中阴影部分的面积； （3）在抛物线上是否存在点P，使DP所在直线平分线段OC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）如图，作CH⊥x轴，垂足为H， ∵直线CH为抛物线对称轴， ∴CH垂直平分AB， ∴CH必经过圆心D（-2，-2） ∵DC=4， ∴CH=6 ∴C点的坐标为（-2，-6）。 （2）连接AD 在Rt△ADH中，AD=4，DH=2， ∴∠HAD=30°， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积。 （3）又∵ H点坐标为（-2，0），H为AB的中点， ∴A点坐标为（-2-2，0），B点坐标为（2-2，0） 又∵抛物线顶点C的坐标为（-2，-6）， 设抛物线解析式为y=a（x+2）2-6 ∵B（，0）在抛物线上 ∴，解得 ∴抛物线的解析式为 设OC的中点为E，过E作EF⊥x轴，垂足为F，连接DE， ∵CH⊥x轴，EF⊥x轴， ∴CH∥EF ∵E为OC的中点， ∴ 即点E的坐标为（-1，-3）。 设直线DE的解析式为 ∴，解得 ∴直线DE的解析式为y=-x-4 若存在P点满足已知条件，则P点必在直线DE和抛物线上 设点P的坐标为（m，n）， ∴n=-m-4，即点P坐标为（m，-m-4）， ∴ 解这个方程，得， ∴点P的坐标为（0，-4）和（-6，2）。 故在抛物线上存在点P，使DP所在直线平分线段OC。

据专家权威分析，试题“已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点C在以D（-2，-2）为圆心，4为半..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，求一次函数的解析式及一次函数的应用，勾股定理，扇形面积的计算   等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用求一次函数的解析式及一次函数的应用勾股定理扇形面积的计算

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；