题文

已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴，一次函数y=kx+1的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧），且A点坐标为（-4，4），平行于x轴的直线l过（0，-1）点。

（1）求一次函数与二次函数的解析式； （2）判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系，并给出证明； （3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位（t＞0），二次函数的图象与x轴交于M，N两点，一次函数图象交y轴于F点，当t为何值时，过F，M，N三点的圆的面积最小，最小面积是多少？

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）把A（-4，4）代入y=kx+1得， ∴一次函数的解析式为； ∵二次函数图象的顶点在原点，对称轴为y轴， ∴设二次函数解析式为， 把A（-4，4）代入得， ∴二次函数的解析式为； （2）由，解得， ∴B， 过A，B点分别作直线l的垂线，垂足为， 则， ∴直角梯形的中位线长为， 过B作BH垂直于直线于点H，则， ， ∴， ∴AB的长等于AB中点到直线l的距离的2倍， ∴以AB为直径的圆与直线l相切； （3）平移后二次函数解析式为， 令y=0，得， ∵过F，M，N三点的圆的圆心一定在直线x=2上，点F为定点， ∴要使圆面积最小，圆半径应等于点F到直线x=2的距离， 此时，半径为2，面积为4π， 设圆心为C，MN中点为E，连CE，CM，则CE=1， 在三角形CEM中，NE=， ∴，而， ∴t=3， 使用当t=3时，过F，M，N三点的圆面积最小，最小面积为4π。

据专家权威分析，试题“已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴，一次函数y=kx+1的..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，求一次函数的解析式及一次函数的应用，直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用求一次函数的解析式及一次函数的应用直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。