题文

OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6。 （1）如图①，在OA上选取一点G，将△COG沿CG翻折，使点O落在BC边上，记为E，求折痕CG所在直线的关系式； （2）如图②在OC上选取一点D，将△AOD沿AD翻折，使点O落在BC边上，记为E′； ①求折痕AD所在直线的关系式； ②再作E′F∥AB，交AD于点F，若抛物线y=-x2+h过点F，求此抛物线的关系式，并判断它与直线AD的交点的个数； （3）如图③，一般地，在OC、OA上选取适当的D′，G′，使纸片沿D′G′翻折后，点O落在BC边上，记为E″，请你猜想：折痕D′G′所在直线与②中的抛物线会有什么关系？用（1）中的情形验证你的猜想。

题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1）由折法知，四边形OCEG是正方形， ∴OG=OC=6， ∴G（6，0），C（0，6）， 设直线CG的关系式为y=kx+b，则0=6k+b，6=0+b， ∴k=-1，b=6， ∴直线CG的关系式为y=-x+6； （2）①Rt△ABE′中，S2=（6-S）2+22， ∴S=，则D（0，）， 设直线AD：y=k′x+，由于它过A（10，0）， ∴k′=-， ∴直线AD：y=-x+； ②∵E′F∥AB，E′（2，6）， ∴设F（2，yF）， ∵F在AD上， ∴yF=-， 又∵F（2，）在抛物线上， ∴×22+h， ∴h=3， ∴抛物线的关系式为y=-x2+3， 将y=-x+代入y=-x2+3， 得， ∵， ∴直线AD与抛物线只有一个交点； （3）可以猜想：（a）折痕所在直线与抛物线y=-x2+3，得-x2+x-3=0， ∵， ∴折痕CG所在直线的确与抛物线y=-x2+3只有一个交点，或（b）在题图①中，D′即C，E″即E，G′即G，交点F′也为G（6，0）， ∵当x=6时，y=-x2+3=-×62+3=0， ∴G点在这条抛物线上。

据专家权威分析，试题“OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，求一次函数的解析式及一次函数的应用，二次函数的图像  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用求一次函数的解析式及一次函数的应用二次函数的图像

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax