已知关于x的二次函数y=x2-（2m-1）x+m2+3m+4。（1）探究二次函数y的图象与x轴的交点的个数跟m之间的关系。（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且x12+x22=5，-九年级数学-00教育-零零教育信息网

已知关于x的二次函数y=x2-（2m-1）x+m2+3m+4。（1）探究二次函数y的图象与x轴的交点的个数跟m之间的关系。（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且x12+x22=5，-九年级数学

首页 > 考试 > 数学 > 初中数学 > 二次函数与一元二次方程/2019-12-17 / 加入收藏 / 阅读 [打印]

题文

已知关于x的二次函数y=x²-（2m-1）x+m²+3m+4。
（1）探究二次函数y的图象与x轴的交点的个数跟m之间的关系。
（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁²+x₂²=5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的解析式。

题型：解答题难度：中档

答案

解：（1）∵△=[-（2m-1）]²-4（m²+3m+4）=4m²-4m+1-4m²-12m-16=-16m-15
当△>0 时，即

时，二次函数y的图象与x轴有两个交点，
当A=0即

时，二次函数y的图象与x轴有一个交点，
当△＜0，即m>-

时，二次函数y的图象与x轴没有交点。
（2）∵x₁+x₂=2m-1，x₁x₂=m²+3m+4，

=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=2m²-10m-7
由

得2m²-10m-7=5，
∴m²-5m-6=0，m₁=6，m₂=-1
m=6不合题意舍去，
∴m=-1，
∴y=x²+3x+2，
∴C（0，2），

直线CM的解析式为：

。

据专家权威分析，试题“已知关于x的二次函数y=x2-（2m-1）x+m2+3m+4。（1）探究二次函数y的图..”主要考查你对二次函数与一元二次方程，求一次函数的解析式及一次函数的应用等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数与一元二次方程求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：二次函数与一元二次方程

二次函数与一元二次方程的关系：
函数y=ax²+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）。
那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标，因此，二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
1、从形式上看：
二次函数：y=ax2＋bx＋c (a≠0)
一元二次方程：ax2＋bx＋c=0 (a≠0)
2、从内容上看：
二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值
3、相互关系：
二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
如：y=x2－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二次方程x2－4x＋3=0的根是x=1或x=3
二次函数交点与二次方程根的关系：
抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况说明：
1、若△＞0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个交点---相交；
2、若△=0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有唯一公共点---相切（顶点）；
3、若△＜0，则一元二次方程ax²+bx+c=0没有实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴没有公共点--相离。
若抛物线y=ax²+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x₁，0），B（x₂，0），则x₁+x₂=-，x₁x₂=。
点拨：
①解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。
②若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁,x₂(x₁<x₂),则抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点为（x₁,0）,(x₂,0),对称轴为x=x₁+x₂/2。
③若a>0,当x<x₁,或x>x₂时，y>0;当x₁<x<x₂时，y<0。
若a< 0,当x₁<x<x₂时，y>0;当x<x₁或x>x₂时，y<0。
④如果抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于M（x₁，0），N(x₂，0)，则MN=√b2-4ac/|a|。

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

待定系数法求一次函数的解析式：
先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。

一次函数的应用：
应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
（1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
（2）注意自变量的取值范围。
用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
第四步（写）：写出该函数的解析式。

一次函数的应用涉及问题：
一、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
合实际。

二、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
求可以反映实际问题的函数

三、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。

生活中的应用：
1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）