题文

已知抛物线y=x2-（2m-1）x+m2-m-2 （1）此抛物线与x轴有几个交点？试说明理由． （2）分别求出抛物线与x轴的交点A，B的横坐标xA，xB，以及与y轴的交点C的纵坐标yC（用含m的代数式表示）． （3）设△ABC的面积为6，且A，B两点在y轴的同侧，试求抛物线的表达式．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）抛物线与x轴有两个交点，理由为： 这里a=1，b=-（2m-1），c=m2-m-2， ∵△=[-（2m-1）]2-4（m2-m-2）=4m2-4m+1-4m2+4m+8=9＞0， ∴抛物线与x轴有两个交点； （2）令y=0，得到x2-（2m-1）x+m2-m-2=0，即（x-m+2）（x-m-1）=0， 解得：xA=m-2，xB=m+1； 令x=0，得到y=m2-m-2，即yC=m2-m-2； （3）根据题意得：△ABC的面积S= 1 2 ?|yC|?|xA-xB|= 3 2 |m2-m-2|=6， ∴m2-m-2=4或m2-m-2=-4， 解得：m=3或m=-2， 则抛物线解析式为y=x2-5x+4或y=y=x2+5x+4．

据专家权威分析，试题“已知抛物线y=x2-（2m-1）x+m2-m-2（1）此抛物线与x轴有几个交点？试说..”主要考查你对  二次函数与一元二次方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数与一元二次方程

考点名称：二次函数与一元二次方程

• 二次函数与一元二次方程的关系：
  函数y=ax²+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）。
  那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标，因此，二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
  1、从形式上看：
  二次函数：y=ax2＋bx＋c  (a≠0)
  一元二次方程：ax2＋bx＋c=0  (a≠0)
  2、从内容上看：
  二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值
  3、相互关系：
  二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
  如：y=x2－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二次方程x2－4x＋3=0的根是x=1或x=3

• 二次函数交点与二次方程根的关系：
  抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况说明：
  1、若△＞0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个交点---相交；
  2、若△=0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有唯一公共点---相切（顶点）；
  3、若△＜0，则一元二次方程ax²+bx+c=0没有实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴没有公共点--相离。
  若抛物线y=ax²+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x₁，0），B（x₂，0），则x₁+x₂=-，x₁x₂=。

• 点拨：
  ①解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。
  ②若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁,x₂(x₁<x₂),则抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点为（x₁,0）,(x₂,0),对称轴为x=x₁+x₂/2。
  ③若a>0,当x<x₁,或x>x₂时，y>0;当x₁<x<x₂时，y<0。
  若a< 0,当x₁<x<x₂时，y>0;当x<x₁或x>x₂时，y<0。
  ④如果抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于M（x₁，0），N(x₂，0)，则MN=√b2-4ac/|a|。