题文

如果抛物线y=x2+mx+1与x轴相交于两个不同点A、B，顶点为C．那么m为何值时，能使∠ACB=90°？

题型：解答题  难度：中档

答案

由题意知：△=m2-4＞0， ∴顶点为C(- m 2 ， 4-m2 4 )． ∵抛物线是对称图形， ∴AC=BC． 即当∠ACB=90°时， △ACB为等腰直角三角形． ∴|AB|=2| 4-m2 4 |． ∵抛物线开口向上，且与x轴有两个不同的交点， ∴ 4-m2 4 ＜0． ∴AB=2(- 4-m2 4 )= m2-4 2 ． 又∵AB= (xA+xB)2-4xAxB = m2-4 ， ∴ m2-4 = m2-4 2 ． ∵ m2-4 =AB＞0， ∴ m2-4 2 =1，解得m=±2 2 ． ∴当m=±2 2 时，能使∠ACB=90°．

据专家权威分析，试题“如果抛物线y=x2+mx+1与x轴相交于两个不同点A、B，顶点为C．那么m为..”主要考查你对  二次函数与一元二次方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数与一元二次方程

考点名称：二次函数与一元二次方程

• 二次函数与一元二次方程的关系：
  函数y=ax²+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）。
  那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标，因此，二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
  1、从形式上看：
  二次函数：y=ax2＋bx＋c  (a≠0)
  一元二次方程：ax2＋bx＋c=0  (a≠0)
  2、从内容上看：
  二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值
  3、相互关系：
  二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
  如：y=x2－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二次方程x2－4x＋3=0的根是x=1或x=3

• 二次函数交点与二次方程根的关系：
  抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况说明：