题文

已知关于x的二次函数y=x2-（2m-1）x+m2+3m+4． （1）探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数； （2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且x12+x22=5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的解析式．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）令y=0，得：x2-（2m-1）x+m2+3m+4=0， ∴△=（2m-1）2-4（m2+3m+4）=-16m-15， 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即-16m-15＞0， ∴m＜- 15 16 ， 此时y的图象与x轴有两个交点； 当△=0时，方程有两个相等的实数根，即-16m-15=0， ∴m=- 15 16 ， 此时，y的图象与x轴只有一个交点； 当△＜0时，方程没有实数根，即-16m-15＜0， ∴m＞- 15 16 ， 此时y的图象与x轴没有交点． ∴当m＜- 15 16 时，y的图象与x轴有两个交点； 当m=- 15 16 时，y的图象与x轴只有一个交点； 当m＞- 15 16 时，y的图象与x轴没有交点． （2）由根与系数的关系得x1+x2=2m-1，x1x2=m2+3m+4， ∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（2m-1）2-2（m2+3m+4）=2m2-10m-7， ∵x12+x22=5， ∴2m2-10m-7=5， ∴m2-5m-6=0， 解得：m1=6，m2=-1， ∵m＜- 15 16 ， ∴m=-1， ∴y=x2+3x+2， 令x=0，得y=2， ∴二次函数y的图象与y轴的交点C坐标为（0，2）， 又y=x2+3x+2=（x+ 3 2 ）2- 1 4 ， ∴顶点M的坐标为（- 3 2 ，- 1 4 ）， 设过C（0，2）与M（- 3 2 ，- 1 4 ）的直线解析式为y=kx+b， 解得k= 3 2 ，b=2， ∴所求的解析式为y= 3 2 x+2．

据专家权威分析，试题“已知关于x的二次函数y=x2-（2m-1）x+m2+3m+4．（1）探究m满足什么条件..”主要考查你对  二次函数与一元二次方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数与一元二次方程

考点名称：二次函数与一元二次方程