题文

已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）抛物线与x轴的另一个交点坐标；______； （2）方程ax2+bx+c=0的两个根是______； （3）不等式ax2+bx+c＜0的解是______； （4）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是______； （5）求出抛物线的解析式及顶点坐标．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）依题意得抛物线的对称轴为x=1，与x轴的一个交点坐标为（-1，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）； （2）∵抛物线与x轴的两个交点坐标为（3，0）（-1，0）， ∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x=-1或x=3； （3）∵抛物线与x轴的两个交点坐标为（3，0）（-1，0）， ∴不等式ax2+bx+c＜0的解是-1＜x＜3； （4）∵抛物线的对称轴为x=1， ∴y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是x＜1； （5）依题意得抛物线与坐标轴的三个交点坐标为（3，0），（-1，0），（0，-3）， 设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c， 把三个点的坐标代入其中得 0=9a+3b+c 0=a-b+c -3=c ， 解之得 a=1 b=-2 c=-3 ， ∴y=x2-2x-3=（x-1）2-4， ∴顶点坐标为（1，-4）．

据专家权威分析，试题“已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）..”主要考查你对  二次函数与一元二次方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数与一元二次方程

考点名称：二次函数与一元二次方程

• 二次函数与一元二次方程的关系：
  函数y=ax²+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）。
  那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标，因此，二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
  1、从形式上看：
  二次函数：y=ax2＋bx＋c  (a≠0)
  一元二次方程：ax2＋bx＋c=0  (a≠0)
  2、从内容上看：
  二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值
  3、相互关系：
  二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
  如：y=x2－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二次方程x2－4x＋3=0的根是x=1或x=3

• 二次函数交点与二次方程根的关系：
  抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况说明：
  1、若△＞0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个交点---相交；
  2、若△=0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有唯一公共点---相切（顶点）；
  3、若△＜0，则一元二次方程ax²+bx+c=0没有实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴没有公共点--相离。
  若抛物线y=ax²+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x₁，0），B（x₂，0），则x₁+x₂=-，x₁x₂=。

• 点拨：
  ①解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。
  ②若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁,x₂(x₁<x₂),则抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点为（x₁,0）,(x₂,0),对称轴为x=x₁+x₂/2。
  ③若a>0,当x<x₁,或x>x₂时，y>0;当x₁<x<x₂时，y<0。
  若a< 0,当x₁<x<x₂时，y>0;当x<x₁或x>x₂时，y<0。
  ④如果抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于M（x₁，0），N(x₂，0)，则MN=√b2-4ac/|a|。