题文

如图，抛物线y=-x2-2x+3与x轴相交于点A和点B，与y轴交于点C． （1）求点A，点B和点C的坐标； （2）求直线AC的解析式； （3）设点M是第二象限内抛物线上的一点，且S△MAB=6，求点M的坐标．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）根据题意得：-x2-2x+3=0 解得x1=1　x2=-3 而当x=0时，y=3 所以点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，3）； （2）设直线AC的解析式为y=kx+b，因为它过点A和点C． 所以 -3k+b=0 b=3 ， 　解得 k=1 b=3 ． 所以直线AC的解析式为y=x+3； （3）设点M的坐标为（m，n），根据题意可知：AB=3+1=4． ∵S△MAB= 1 2 AB×n，而S△MAB=6， ∴n=3．　 此时点M为（m，3）， ∵点M在抛物线上， ∴-m2-2m+3=3， 解得m1=-2，m2=0（不合题意舍去）． 所以点M的坐标为（-2，3）．

据专家权威分析，试题“如图，抛物线y=-x2-2x+3与x轴相交于点A和点B，与y轴交于点C．（1）求..”主要考查你对  二次函数与一元二次方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数与一元二次方程

考点名称：二次函数与一元二次方程

• 二次函数与一元二次方程的关系：
  函数y=ax²+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）。
  那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标，因此，二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
  1、从形式上看：
  二次函数：y=ax2＋bx＋c  (a≠0)
  一元二次方程：ax2＋bx＋c=0  (a≠0)
  2、从内容上看：
  二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值
  3、相互关系：
  二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
  如：y=x2－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二次方程x2－4x＋3=0的根是x=1或x=3

• 二次函数交点与二次方程根的关系：
  抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况说明：
  1、若△＞0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个交点---相交；
  2、若△=0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有唯一公共点---相切（顶点）；
  3、若△＜0，则一元二次方程ax²+bx+c=0没有实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴没有公共点--相离。
  若抛物线y=ax²+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x₁，0），B（x₂，0），则x₁+x₂=-，x₁x₂=。

• 点拨：
  ①解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。
  ②若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁,x₂(x₁<x₂),则抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点为（x₁,0）,(x₂,0),对称轴为x=x₁+x₂/2。
  ③若a>0,当x<x₁,或x>x₂时，y>0;当x₁<x<x₂时，y<0。
  若a< 0,当x₁<x<x₂时，y>0;当x<x₁或x>x₂时，y<0。
  ④如果抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于M（x₁，0），N(x₂，0)，则MN=√b2-4ac/|a|。