题文

已知：在△ABC中，BC＞AC，动点D绕△ABC的顶点A逆时针旋转，且AD=BC，连接DC．过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N． （1）如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论∠AMF=∠BNE（不需证明）； （2）当点D旋转到图2或图3中的位置时，∠AMF与 ∠BNE有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．

题型：解答题  难度：中档

答案

图1：∠AMF=∠ENB； 图2：∠AMF=∠ENB； 图3：∠AMF+∠ENB=180°． 证明：如图2，取AC的中点H，连接HE、HF． ∵F是DC的中点，H是AC的中点， ∴HF∥AD，HF= 1 2 AD， ∴∠AMF=∠HFE， 同理，HE∥CB，HE= 1 2 CB， ∴∠ENB=∠HEF． ∵AD=BC， ∴HF=HE， ∴∠HEF=∠HFE， ∴∠ENB=∠AMF． 如图3：取AC的中点H，连接HE、HF． ∵F是DC的中点，H是AC的中点， ∴HF∥AD，HF= 1 2 AD， ∴∠AMF+∠HFE=180°， 同理，HE∥CB，HE= 1 2 CB， ∴∠ENB=∠HEF． ∵AD=BC， ∴HF=HE， ∴∠HEF=∠HFE， ∴∠AMF+∠ENB=180°．

据专家权威分析，试题“已知：在△ABC中，BC＞AC，动点D绕△ABC的顶点A逆时针旋转，且AD=BC，..”主要考查你对  平行线的性质，平行线的公理，三角形中位线定理，图形旋转  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

平行线的性质，平行线的公理三角形中位线定理图形旋转

考点名称：平行线的性质，平行线的公理

• 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
  推论（平行线的传递性）：平行同一直线的两直线平行。
  ∵a∥c，c ∥b
  ∴a∥b。

  平行线的性质：
  1. 两条平行被第三条直线所截，同位角相等。
  简单说成：两直线平行，同位角相等。
  2. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
  简单说成：两直线平行，内错角相等。
  3 . 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
  简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

• 平行线的性质公理注意：
  ①注意条件“经过直线外一点”，若经过直线上一点作已知直线的平行线，就与已知直线重合了；
  ②平行公理体现了平行线的存在性和唯一性；
  ③平行公理的推论体现了平行线的传递性。
  ④在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论。这是平行线特有的性质。不要一提同位角或内错角就认为他们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，他们是不成立的。
  

考点名称：三角形中位线定理

• 三角形中位线定义：
  连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形共有三条中位线。
  三角形中位线定理：
  三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
  
  如图已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
  则DE平行于BC且等于BC/2

• 三角形中位线逆定理：
  
  逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
  如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
  逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
  如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2

• 区分三角形的中位线和中线：
  三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段；
  三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段。

考点名称：图形旋转

• 定义：
  在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
  图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。

• 图形旋转性质：
  （1）对应点到旋转中心的距离相等。
  （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
  旋转对称中心
  把一个图形绕着一个点旋转一定的角度后，与原来的图形相吻合，这种图形叫做 旋转对称图形，这个定点叫做 旋转对称中心，旋转的角度叫做 旋转角。（旋转角大于0°小于360°）