题文

在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，如图，则下列说法正确的有几个，大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是（　　） （1）AE平分∠DAB； （2）△EBA≌△DCE； （3）AB+CD=AD； （4）AE⊥DE； （5）AB∥CD． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

题型：单选题  难度：中档

答案

如图：取AD的中点F，连接EF． ∵∠B=∠C=90°， ∴AB∥CD；[结论（5）] ∵E是BC的中点，F是AD的中点， ∴EF∥AB∥CD，2EF=AB+CD（梯形中位线定理）①； ∴∠CDE=∠DEF（两直线平等，内错角相等）， ∵DE平分∠ADC， ∴∠CDE=∠FDE=∠DEF， ∴DF=EF； ∵F是AD的中点，∴DF=AF， ∴AF=DF=EF②， 由①得AF+DF=AB+CD，即AD=AB+CD；[结论（3）] 由②得∠FAE=∠FEA， 由AB∥EF可得∠EAB=∠FEA， ∴∠FAE=∠EAB，即EA平分∠DAB；[结论（1）] 由结论（1）和DE平分∠ADC，且DC∥AB，可得∠EDA+∠DAE=90°，则∠DEA=90°，即AE⊥DE；[结论（4）]． 由以上结论及三角形全等的判定方法，无法证明△EBA≌△DCE． 正确的结论有4个，故选D．

据专家权威分析，试题“在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，..”主要考查你对  平行线的性质，平行线的公理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

平行线的性质，平行线的公理

考点名称：平行线的性质，平行线的公理

• 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
  推论（平行线的传递性）：平行同一直线的两直线平行。
  ∵a∥c，c ∥b
  ∴a∥b。

  平行线的性质：
  1. 两条平行被第三条直线所截，同位角相等。
  简单说成：两直线平行，同位角相等。
  2. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
  简单说成：两直线平行，内错角相等。
  3 . 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
  简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

• 平行线的性质公理注意：
  ①注意条件“经过直线外一点”，若经过直线上一点作已知直线的平行线，就与已知直线重合了；
  ②平行公理体现了平行线的存在性和唯一性；
  ③平行公理的推论体现了平行线的传递性。
  ④在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论。这是平行线特有的性质。不要一提同位角或内错角就认为他们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，他们是不成立的。