题文

如图，在等腰梯形ABCD中，∠DCB=60°，AD∥BC，且AD=DC． E，F分别在AD，DC的延长线上，且DE=CF、A F，BE交于点P，且分别交DC，BC于点H，G． （1）求证：AF=BE； （2）请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论； （3）延长BA，CD相交于M，若AD=24，BP=27，试求三角形MBP和三角形MBH的面积比．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵AB=CD，AD=DC， ∴BA=AD，∠BAE=∠ADF， ∵DE=CF， ∴AE=DF， ∴△BAE≌△ADF（SAS）． ∴BE=AF．（3分） （2）猜测∠BPF=120°．（1分） ∵由（1）△BAE≌△ADF， ∴∠ABE=∠DAF． ∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠DAF+∠BAP=∠BAE． 而AD∥BC，∠DCB=∠ABC=60°， ∴∠BPF=120°．（3分） （3）延长BA，CD交于点M，则△MBC为正三角形． ∵∠BPF=120°， ∴∠APB=∠M=60°． 而∠ABP=∠HBM， ∴△ABP∽△HBM． ∴ AB HB = BP BM ，即 24 HB = 27 48 ． ∴HB= 128 3 则S△MBP：S△MBH=BP：BH=81：128．（5分）

据专家权威分析，试题“如图，在等腰梯形ABCD中，∠DCB=60°，AD∥BC，且AD=DC．E，F分别在A..”主要考查你对  平行线的性质，平行线的公理，梯形，梯形的中位线  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

平行线的性质，平行线的公理梯形，梯形的中位线

考点名称：平行线的性质，平行线的公理

• 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
  推论（平行线的传递性）：平行同一直线的两直线平行。
  ∵a∥c，c ∥b
  ∴a∥b。

  平行线的性质：
  1. 两条平行被第三条直线所截，同位角相等。
  简单说成：两直线平行，同位角相等。
  2. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
  简单说成：两直线平行，内错角相等。
  3 . 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
  简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

• 平行线的性质公理注意：
  ①注意条件“经过直线外一点”，若经过直线上一点作已知直线的平行线，就与已知直线重合了；
  ②平行公理体现了平行线的存在性和唯一性；
  ③平行公理的推论体现了平行线的传递性。
  ④在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论。这是平行线特有的性质。不要一提同位角或内错角就认为他们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，他们是不成立的。
  

考点名称：梯形，梯形的中位线

• 梯形的定义：
  一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
  梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，梯形中不平行的两边叫做梯形的腰，梯形的两底的距离叫做梯形的高。
  梯形的中位线：
  连结梯形两腰的中点的线段。 

• 梯形性质：
  ①梯形的上下两底平行；
  ②梯形的中位线（两腰中点相连的线叫做中位线）平行于两底并且等于上下底和的一半。
  ③等腰梯形对角线相等。

  梯形判定：
  1.一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。
  2.一组对边平行且不相等的四边形是梯形。
  
  梯形中位线定理：
  梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
  梯形中位线×高=（上底+下底）×高=梯形面积
  梯形中位线到上下底的距离相等
  中位线长度=（上底+下底）
  
  梯形的周长与面积：
  梯形的周长公式：上底+下底+腰+腰，用字母表示：a+b+c+d。
  等腰梯形的周长公式：上底+下底+2腰，用字母表示：a+b+2c。
  梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2，用字母表示：S=（a+b）×h。
  变形1：h=2s÷（a+b）；
  变形2：a=2s÷h-b；
  变形3：b=2s÷h-a。
  另一计算梯形的面积公式： 中位线×高，用字母表示：L·h。
  对角线互相垂直的梯形面积为：对角线×对角线÷2。

• 梯形的分类：
  
  
  等腰梯形：两腰相等的梯形。
  直角梯形：有一个角是直角的梯形。
  
  等腰梯形的性质：
  （1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等。
  （2）等腰梯形的对角线相等。
  （3）等腰梯形是轴对称图形。
  
  等腰梯形的判定：
  （1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形
  （2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
  （3）对角线相等的梯形是等腰梯形。