题文

（1）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线上且CE=CA，试求∠DAE的度数。 （2）如果把第（1）题中“AB=AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？说明理由。 （3）如果把第（1）题中“∠BAC=90。”的条件改为“∠BAC>90°”，其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC有怎样的大小关系？

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°　                 ∴∠B=∠ACB=45° 　　                  ∵BD=BA 　　                 ∴∠BAD=∠BDA=（180°-∠B）=67.5° 　　                 ∵CE=CA 　　                 ∴∠CAE=∠E=∠ACB=22.5°                  在△ABE中，∠BAE=180°-∠B-∠E=112.5°                 ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=112.5°-67.5°=45°         （2）不改变                   设∠CAE=x                  ∵CA=CE 　　                 ∴∠E=∠CAE=x 　　                 ∴∠ACB=∠CAE+∠E=2x 　                  在△ABC中，∠BAC=90° 　　                  ∴∠B=90°-∠ACB=90°-2x 　　                  ∵BD=BA                ∴∠BAD=∠BDA=（180°-∠B）=x+45°               在△ABE中，∠BAE=180°-∠B-∠E 　　　                                            =180°-(90°-2x）-x=90°+x 　　                 ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD 　　　　　　                              =（90°+x）-（x+45°）                              =45° （3）∠DAE=∠BAC         理由：设∠CAE=x，∠BAD=y 　　　                    则∠B=180°-2y，∠E=∠CAE=x 　　                    ∴∠BAE=180°-∠B-∠E=2y-x 　　                    ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=2y-x-y=y-x 　　                        ∠BAC=∠BAE-∠CAE=2y-x-x=2y-2x                    ∴∠DAE=∠BAC

据专家权威分析，试题“（1）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在..”主要考查你对  三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的内角和定理等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：三角形的内角和定理

• 三角形的内角和定理及推论：
  三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
  推论：
  （1）直角三角形的两个锐角互余。
  （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
  （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)