题文

在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分斜边AB，且分别交AB、BC于D、E，若 ∠CAE=∠B+30°，求∠AEB的度数。

题型：解答题  难度：中档

答案

解：∵DE垂直平分斜边AB， ∴AE=BE，∴∠B=∠EAB。 ∵∠C=90°， ∴∠CAB+∠B=90°。 又∵∠CAE=∠B+30°， ∴∠B+30°+∠B+∠B=90°。 ∴∠B=20°。 ∴∠AEB=180°-∠EAB-∠B=180°-20°-20°=140°。

据专家权威分析，试题“在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分斜边AB，且分别交AB、BC于D、E，若..”主要考查你对  三角形的内角和定理，垂直平分线的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的内角和定理垂直平分线的性质

考点名称：三角形的内角和定理

• 三角形的内角和定理及推论：
  三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
  推论：
  （1）直角三角形的两个锐角互余。
  （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
  （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

考点名称：垂直平分线的性质

• 垂直平分线的概念：
  垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。
  如图：直线MN即为线段AB的垂直平分线。
  

• 垂直平分线的性质：
  1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。
  2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
  逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
  3.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
  4.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相 等。
  （此时以外心为圆心，外心到顶点的长度为半径，所作的圆为此三角形的外接圆。）
  
  判定：
  ①利用定义；
  ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
  （即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合）

• 尺规作法：（用圆规作图）
  1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。
  2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到两个交点(两交点交与线段的异侧)。
  3、连接这两个交点。
  原理：等腰三角形的高垂直平分底边。