如图1,在△ABC中,∠ACB=2∠B,∠BAC的平分线AO交BC于点D,点H为AO上一动点,过点H作直线l⊥AO于H,分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M。(1)当直线l经过点C时(如图2),证明:BN=CD;-八年级数学
题文
如图1,在△ABC中,∠ACB=2∠B,∠BAC的平分线AO交BC于点D,点H为AO上一动点,过点H作直线l⊥AO于H,分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M。 (1)当直线l经过点C时(如图2),证明:BN=CD; (2)当M是BC中点时,写出CE和CD之间的等量关系,并加以证明; (3)请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系。 |
答案
解:(1 )证明:连接ND , ∵AO 平分∠BAC , ∴∠1= ∠2 , ∵直线l ⊥AO 于H , ∴∠4= ∠5=90 °, ∴∠6= ∠7 , ∴AN=AC , ∴NH=CH , ∴AH 是线段NC 的中垂线, ∴DN=DC , ∴∠8= ∠9 . ∴∠AND= ∠ACB , ∵∠AND= ∠B+ ∠3 ,∠ACB=2 ∠B , ∴∠B= ∠3 , ∴BN=DN , ∴BN=DC ; (2 )如图,当M 是BC 中点时, CE 和CD 之间的等量关系为CD=2CE 。 证明:过点C 作CN' ⊥AO 交AB 于N' , 由(1 )可得BN'=CD ,AN'=AC ,AN=AE . ∴∠4= ∠3 ,NN'=CE , 过点C 作CG ∥AB 交直线l 于G , ∴∠4= ∠2 ,∠B= ∠1 , ∴∠2= ∠3 , ∴CG=CE , ∵M 是BC 中点, , ∴BM=CM , 在△BNM 和△CGM 中, ∴△BNM ≌△CGM , ∴BN=CG , ∴BN=CE , ∴CD=BN'=NN'+BN=2CE ; (3 )BN 、CE 、CD 之间的等量关系: 当点M 在线段BC 上时,CD=BN+CE ; 当点M 在BC 的延长线上时,CD=BN-CE ; 当点M 在CB 的延长线上时,CD=CE-BN 。 |
据专家权威分析,试题“如图1,在△ABC中,∠ACB=2∠B,∠BAC的平分线AO交BC于点D,点H为AO上..”主要考查你对 三角形的内角和定理,平行线的性质,平行线的公理,全等三角形的性质,垂直平分线的性质 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
三角形的内角和定理平行线的性质,平行线的公理全等三角形的性质垂直平分线的性质
考点名称:三角形的内角和定理
- 三角形的内角和定理及推论:
三角形的内角和定理:三角形三个内角和等于180°。
推论:
(1)直角三角形的两个锐角互余。
(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注:在同一个三角形中:等角对等边;等边对等角;大角对大边;大边对大角。
考点名称:平行线的性质,平行线的公理
平行公理:过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
推论(平行线的传递性):平行同一直线的两直线平行。
∵a∥c,c ∥b
∴a∥b。平行线的性质:
1. 两条平行被第三条直线所截,同位角相等。
简单说成:两直线平行,同位角相等。
2. 两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。
简单说成:两直线平行,内错角相等。
3 . 两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。
简单说成:两直线平行,同旁内角互补。- 平行线的性质公理注意:
①注意条件“经过直线外一点”,若经过直线上一点作已知直线的平行线,就与已知直线重合了;
②平行公理体现了平行线的存在性和唯一性;
③平行公理的推论体现了平行线的传递性。
④在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论。这是平行线特有的性质。不要一提同位角或内错角就认为他们相等,一提同旁内角就认为互补,若没有两直线平行的条件,他们是不成立的。
考点名称:全等三角形的性质
- 全等三角形:
两个全等的三角形,而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。全等三角形是几何中全等的一种。根据全等转换,两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称,或重叠等。当两个三角形的对应边及角都完全相对时,该两个三角形就是全等三角形。正常来说,验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证,最后便能得出结果。
全等三角形的对应边相等,对应角相等。
①全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;
②全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角;
③有公共边的,公共边一定是对应边;
④有公共角的,角一定是对应角;
⑤有对顶角的,对顶角一定是对应角。 全等三角形的性质:
1.全等三角形的对应角相等。
2.全等三角形的对应边相等。
3.全等三角形的对应边上的高对应相等。
4.全等三角形的对应角的角平分线相等。
5.全等三角形的对应边上的中线相等。
6.全等三角形面积相等。
7.全等三角形周长相等。
8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。
考点名称:垂直平分线的性质
- 垂直平分线的概念:
垂直于一条线段并且平分这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)。
如图:直线MN即为线段AB的垂直平分线。 - 垂直平分线的性质:
1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。
2.垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等。
逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
3.如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
4.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,该点叫外心,并且这一点到三个顶点的距离相 等。
(此时以外心为圆心,外心到顶点的长度为半径,所作的圆为此三角形的外接圆。)
判定:
①利用定义;
②到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
(即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合) 尺规作法:(用圆规作图)
1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。
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