题文

如图，△ABC中，∠A=60°，∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G．求证：GE=GD．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F． ∵∠A=60°， ∴∠ACB+∠ABC=120°， ∵CD，BE是角平分线， ∴∠BCG+∠CBG=120°÷2=60°， ∴∠CGB=∠EGD=120°， ∵G是∠ACB平分线上一点， ∴GN=GF， 同理，GF=GM， ∴GN=GM， ∴AG是∠CAB的平分线， ∴∠GAM=∠GAN=30°， ∴∠NGM=∠NGA+∠AGM=60°+60°=120°， ∴∠EGD=∠NGM=120°， ∴∠EGN=∠DGM， 又∵GN=GM， ∴Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS）， ∴GE=GD．

据专家权威分析，试题“如图，△ABC中，∠A=60°，∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G．..”主要考查你对  三角形的内角和定理，角平分线的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的内角和定理角平分线的性质

考点名称：三角形的内角和定理

• 三角形的内角和定理及推论：
  三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
  推论：
  （1）直角三角形的两个锐角互余。
  （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
  （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

考点名称：角平分线的性质

• 角平分线：
  三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。三角形的角平分线交点一定在三角形内部。

• 角平方线定理：
  ①角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。
  ②角平分线能得到相同的两个角，都等于该角的一半。
  ③三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
  ④三角形的三个角的角平分线相交于一点，这个点称为内心 ，即以此点为圆心可以在三角形内部画一个内切圆。
  逆定理：
  在角的内部，到角两边的距离相等的点在角平分线上。

• 角平分线作法：
  在角AOB中，画角平分线
  
  方法一：
  1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M，N。
  2.分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。
  3.作射线OP。
  则射线OP为角AOB的角平分线。
  当然，角平分线的作法有很多种。下面再提供一种尺规作图的方法供参考。
  
  方法二：
  1.在两边OA、OB上分别截取OM、OA和ON、OB，且使得OM=ON，OA=OB；
  2.连接AN与BM，他们相交于点P；
  3.作射线OP。
  则射线OP为角AOB的角平分线。