题文

如图①，△ABC中，DC，BD分别是∠ACB和∠ABC的平分线，且∠A=α （1）用含α的代数识别是∠CDB； （2）若把图①中∠ACB的平分线DC改为∠ACB的外角的平分线（如图②），怎样用含α的代数式别是∠CDB． （3）若把图①中“DC，DB分别是∠ACB和∠ABC的平分线”改成“DC，BD分别是∠ACB和∠ABC的外角的平分线”，（如图③），怎样用含α的代数式别是∠CDB．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵∠A=α，∴∠ABC+∠ACB=180°-α， ∵DC，BD分别是∠ACB和∠ABC的平分线， ∴∠DBC+∠DCB= 1 2 ×（∠ABC+∠ACB）=90°-α， ∴∠CDB=180°-（∠DBC+∠DCB）=90°+ α 2 ； （2）设BC的延长线上有一点E． ∵∠DCE是△BCD的一个外角， ∴∠D=∠DCE-∠DBC， 同理：∠A=∠ACE-∠ABC， ∵CD和BD分别为角平分线， ∴∠DCE= 1 2 ∠ACE，∠DBC= 1 2 ∠ABC， ∴∠CDB= α 2 ； （3）∵∠A=α， ∴∠ABC+∠ACB=180°-α， ∵DC，BD分别是∠ACB和∠ABC的外角的平分线， ∴∠DBC+∠DCB= 1 2 ×[360°-（∠ABC+∠ACB）]=90°+ α 2 ， ∴∠CDB=CDB=180°-（∠DBC+∠DCB）=90°- α 2 ．

据专家权威分析，试题“如图①，△ABC中，DC，BD分别是∠ACB和∠ABC的平分线，且∠A=α（1）用含..”主要考查你对  三角形的外角性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的外角性质

考点名称：三角形的外角性质

• 三角形的外角：
  三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做三角形的外角。
  
  ∠1是三角形的外角。

• 三角形的外角特征：
  ①顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；
  ②一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；
  ③另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。
   
  性质：
  ①. 三角形的外角与它相邻的内角互补。
  ②. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
  ③. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  ④. 三角形的外角和等于360°。
  设三角形ABC 则三个外角和=（A+B）+（A+C）+（B+C）=360度。
  
  定理：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。
  定理：三角形的三个内角和为180度。