题文

已知△ABC，O是△ABC所在平面内的一点，连接OB、OC，将∠ABO、∠ACO分别记为∠1、∠2． （1）如图（1），当点O与点A在直线BC的异侧时，∠1+∠2+∠A+∠O=______°； （2）如图（2），当点O在△ABC的内部时，∠1、∠2、∠A、∠O四个角之间满足什么样的数量关系？请说明你的理由； （3）当点O在△ABC所在平面内运动时（点O不在三边所在的直线上），由于所处的位置不同，∠1、∠2、∠A、∠O四个角之间满足的数量关系还存在着与（1）、（2）中不同的结论，你能否在图（3）中画出一种不同的示意图，并直接写出相应的结论．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）如图（1），当点O与点A在直线BC的异侧时， ∵AB、OB、OC、AC四条线段正好构成四边形， ∴∠1+∠2+∠A+∠O=360°； （2）连接OA，并延长交BC于D点， ∵∠BOD是△AOB的外角， ∴∠OAB+∠1=∠BOD， ∵∠COD是△AOB的外角， ∴∠OAC+∠2=∠COD， ∴∠OAB+∠1+∠OAC+∠2=∠COD+∠BOD， 即∠1+∠2+∠A=∠O． （3）如图所示，∠A=∠2+∠O-∠1． 在△ABD中，∠4=180°-∠A-∠1， ∵∠3=∠4， ∴∠3=180°-∠A-∠1， ∴∠3+∠2+∠O=180°， ∴180°-∠A-∠1+∠2+∠O=180°， 整理得，∠A=∠2+∠O-∠1．

据专家权威分析，试题“已知△ABC，O是△ABC所在平面内的一点，连接OB、OC，将∠ABO、∠ACO分..”主要考查你对  三角形的外角性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的外角性质

考点名称：三角形的外角性质

• 三角形的外角：
  三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做三角形的外角。
  
  ∠1是三角形的外角。

• 三角形的外角特征：
  ①顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；
  ②一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；
  ③另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。
   
  性质：
  ①. 三角形的外角与它相邻的内角互补。
  ②. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
  ③. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  ④. 三角形的外角和等于360°。
  设三角形ABC 则三个外角和=（A+B）+（A+C）+（B+C）=360度。
  
  定理：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。
  定理：三角形的三个内角和为180度。