题文

如图，直线y=- 4 3 x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．有两动点C、D同时从点O出发，其中点C以每秒 3 2 个单位长度的速度沿折线OAB按O→A→B的路线运动，点D以每秒4个单位长度的速度沿折线OBA按O→B→A的路线运动，当C、D两点相遇时，它们都停止运动．设C、D同时从点O出发t秒时，△OCD的面积为S． （1）请问C、D两点在运动过程中，是否存在CD∥OB？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由； （2）请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （3）设S0是（2）中函数S的最大值，那么S0=______．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）不存在CD∥OB，理由为： 若CD∥OB，则点C，D应分别在线段OA，AB上，此时1＜t＜2，在Rt△AOB中，AB=5， 设点D的坐标为（x1，y1）， ∴ |x1| 3 = 4t-4 5 ， ∴|x1|= 3 5 （4t-4）= 12t-12 5 ， ∵CD∥OB， ∴ 12t-12 5 = 3 2 t， ∴t= 8 3 ， ∵t= 8 3 ＞2，不满足1＜t＜2， ∴不存在CD∥OB； （2）根据题意得D，C两点相遇的时间为 3+4+5 3 2 +4 = 24 11 （秒）， 现分情况讨论如下： （ⅰ）当0＜t≤1时，S= 1 2 × 3 2 t?4t=3t2； （ⅱ）当1＜t≤2时，设点D的坐标为（x2，y2）， ∴ |y2| 4 = 5-(4t-4) 5 ，即|y2|= 36t-16 5 ， ∴S= 1 2 × 3 2 t× 36t-16 5 =- 12 5 t2+ 27 5 t； （ⅲ）当2＜t＜ 24 11 时， 设点D的坐标为（x3，y3），类似（ⅱ）可得|y3|= 36-16t 5 ， 设点C的坐标为（x4，y4），∴ |y4| 4 = 3 2 t-3 5 ，即|y4|= 6t-12 5 ， ∴S=S△AOD-S△AOC= 1 2 ×3× 36-16t 5 - 1 2 ×3× 6t-12 5 =- 33 5 t+ 72 5 ； （3）当0＜t≤1时，S=3t2，函数的最大值是3； 当1＜t≤2时，S=- 12 5 t2+ 27 5 t．函数的最大值是 243 80 ， 当2＜t＜ 24 11 时，S=- 33 5 t+ 72 5 ，0＜S＜ 6 5 ， ∴S0= 243 80 ． 故答案为：（3） 243 80

据专家权威分析，试题“如图，直线y=-43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．有两动点C、D同时..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)