题文

如图，直线l1⊥x轴于点A（2，0），点B是直线l1上的动点．直线l2：y=x+1交l1于点C，过点B作直线l3垂直于l2，垂足为D，过点O，B的直线l4交l2于点E，当直线l1，l2，l3能围成三角形时，设该三角形面积为S1，当直线l2，l3，l4能围成三角形时，设该三角形面积为S2． （1）若点B在线段AC上，且S1=S2，则B点坐标为______； （2）若点B在直线l1上，且S2= 3 S1，则∠BOA的度数为______．

题型：填空题  难度：中档

答案

（1）设B的坐标是（2，m）， ∵直线l2：y=x+1交l1于点C， ∴∠ACE=45°， ∴△BCD是等腰直角三角形． BC=|3-m|， 则BD=CD= 2 2 BC= 2 2 |3-m|， S1= 1 2 ×（ 2 2 |3-m|）2= 1 4 （3-m）2． 设直线l4的解析式是y=kx，过点B， 则2k=m，解得：k= m 2 ， 则直线l4的解析式是y= m 2 x． 根据题意得： y= m 2 x y=x+1 ，解得： x= 2 m-2 y= m m-2 ， 则E的坐标是（ 2 m-2 ， m m-2 ）． S△BCE= 1 2 BC?| 2 m-2 -2|= 1 2 |3-m|?| 6-2m m-2 |= (3-m)2 |m-2| ． ∴S2=S△BCE-S1= (3-m)2 |m-2| - 1 4 （3-m）2． 当S1=S2时， (3-m)2 |m-2| - 1 4 （3-m）2= 1 4 （3-m）2． 解得：m1=4或m2=0， 易得点C坐标为（2，3），即AC=3， ∵点B在线段AC上， ∴m1=4不合题意舍去， 则B的坐标是（2，0）； （2）分三种情况： ①当点B在线段AC上时 当S2= 3 S1时， (3-m)2 |m-2| - 1 4 （3-m）2= 3 4 （3-m）2． 解得：m=4-2 3 或2 3 （不在线段AC上，舍去），或m=3（l2和l4重合，舍去）． 则AB=4-2 3 ． 在OA上取点F，使OF=BF，连接BF，设OF=BF=x． 则AF=2-x，根据勾股定理，x2=(2-x)2+(4-2 3 )2， 解得：x=8-4 3 ， ∴sin∠BFA= 4-2 3 8-4 3 = 1 2 ， ∴∠BFA=30°， ∴∠BOA=15°； ②当点B在AC延长线上时， 此时，S2=S△BCE+S1= (3-m)2 |m-2| + 1 4 (3-m)2 当S2= 3 S1时，得： (3-m)2 |m-2| + 1 4 (3-m)2= 3 ? 1 4 (3-m)2， 解得符合题意有：AB=4+2 3 ． 在AB上取点G，使BG=OG，连接OG，设BG=OG=x， 则AG=4+2 3 -x．根据勾股定理，得x2=(4+2 3 -x)2+22， 解得：x=4， ∴sin∠OGA= 2 4 = 1 2 ， ∴∠OGA=30°， ∴∠OBA=15°， ∴∠BOA=75°； ③当点B在CA延长线上时 此时，S2=S1-S△BCE= 1 4 (3-m)2- (3-m)2 |m-2| ， 当S2= 3 S1时，得： 1 4 (3-m)2- (3-m)2 |m-2| = 3 ? 1 4 (3-m)2， 解得：m=3（l2和l4重合，舍去）， ∴此时满足条件的点B不存在， 综上所述，∠BOA的度数为15°或75°．

据专家权威分析，试题“如图，直线l1⊥x轴于点A（2，0），点B是直线l1上的动点．直线l2：y=x+..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)