题文

如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知OA=4OB，AC=2BC=2 5 ． （1）求点A、B、C的坐标； （2）若点C关于原点的对称点为C′，试问在AB的垂直平分线上是否存在一点G，使得△GBC′的周长最小？若存在，求出点G的坐标和最小周长；若不存在，请说明理由． （3）设点P是直线BC上异于点B、点C的一个动点，过点P作x轴的平行线交直线AC于点Q，过点Q作QM垂直于x轴于点M，再过点P作PN垂直于x轴于点N，得到矩形PQMN．则在点P的运动过程中，当矩形PQMN为正方形时，求该正方形的边长．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）设OB=k（k＞0），则OA=4k，AB=5k， ∵AC=2BC=2 5 ，∠ACB=90°， ∴（2 5 ）2+（ 5 ）2=（5k）2， 解得：k=1， ∴OB=1，OA=4， ∴A（-4，0），B（1，0）， ∵OC= CB2+OB2 =2， ∴C（0，-2）； （2）如图1，连接AC′，由几何知识知AC′与AB的垂直平分线l的交点即为△GBC′的周长最小时的点G． 连接GB，BC′， ∵点C′与点C关于原点对称，且C（0，-2）， ∴C′（0，2）， ∵A（-4，0），B（1，0）， ∴直线AC′的解析式为：y= 1 2 x+2， 直线l的解析式为：x=- 3 2 ， ∴点G（- 3 2 ， 5 4 ）， ∵BC′= 12+22 = 5 ，AC′= 42+22 =2 5 ∴△GBC′的最小周长为： GB+GC′+BC′=AC′+BC′=3 5 ； （3）由图易知点P不可能在直线BC的点B右上方． 当点P在线段BC之间时（如图2）， 设正方形PQMN的边长为t． ∵A（-4，0），B（1，0），C（0，-2） ∴直线AC的解析式为：y=- 1 2 x-2， 直线BC的解析式为：y=2x-2， ∴点P（ 2-t 2 ，-t），点Q（2t-4，-t）， ∴点N（ 2-t 2 ，0），点M（2t-4，0）， ∴MN=-2t+4+ 2-t 2 =t，解得t= 10 7 ， 当点P在直线BC的左下方时，同理可得点N（ 2-t 2 ，0），点M（2t-4，0），此时 MN=2t-4- 2-t 2 =t，解得t= 10 3 ． 综上所述，正方形PQMN的边长为 10 7 或 10 3 ．

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)