题文

如图，在直角坐标系xoy中，已知两点O1（3，0）、B（-2，0），⊙O1与x轴交于原点O和点A，E是y轴上的一个动点，设点E的坐标为（0，m）． （1）当点O1到直线BE的距离等于3时，求直线BE的解析式； （2）当点E在y轴上移动时，直线BE与⊙O1有哪几种位置关系；直接写出每种位置关系时的m的取值范围； （3）若在第（1）题中，设∠EBA=α，求sin2α-2sinα?cosα的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）由已知得BE是⊙O1的切线， 设切点为M，连接O1M，则O1M⊥BM， ∴O1M=3，BM=4，又OE⊥BO， ∴△BOE∽△BMO， ∴ OE O1M = OB BM ， ∴ m 3 = 2 4 ， ∴m= 3 2 ， 设此时直线BE的解析式是y=kx+m， 将B（-2，0）及m= 3 2 代入上式，解得k= 3 4 ， ∴y= 3 4 x+ 3 2 ， 由圆的对称性可得：m=- 3 2 ，直线BE也与⊙O1相切， 同理可得：y2=- 3 4 x- 3 2 ； （2）当m＞ 3 2 或m＜- 3 2 时，直线与圆相离， 当m= 3 2 或m=- 3 2 时，直线与圆相切， 当- 3 2 ＜m＜ 3 2 时，直线与圆相交； （3）当直线BE与⊙O1相切时，显然存在另一条直线BF也与⊙O1相切， 设直线BE、BF与⊙O1相切于点M、N，连接O1M、O1N，有O1M⊥BM，O1N⊥BN，由圆的对称性可知∠EBF=2∠EBO=2∠α， sinα= O1M BO1 = 3 5 ， cosα= BM BO1 = 4 5 ， 过E作EH⊥BF于H，在△BEF中， 由三角形等积性质得；EH?BF=EF?BO， BF=BE= 5 2 ，EF=2m=3，BO=2， ∴EH= 12 5 ， sin2α=sin∠EBF= EH BE = 12 5 5 2 = 24 25 ， 由此可得：sin2α-2sinα?cosα= 24 25 - 3 5 × 4 5 ×2=0．

据专家权威分析，试题“如图，在直角坐标系xoy中，已知两点O1（3，0）、B（-2，0），⊙O1与x轴..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)