利用分解因式,可得:,,已知A=a+2,B=a2+5a-19其中-7<a<3。(1)将B-A分解因式;(2)比较A与B的大小。-八年级数学

首页 > 考试 > 数学 > 初中数学 > 整式的除法/2019-03-31 / 加入收藏 / 阅读 [打印]

题文

利用分解因式,可得:
已知A=a+2,B=a2+5a-19其中-7<a<3。
(1)将B-A分解因式;
(2)比较A与B的大小。
题型:解答题  难度:中档

答案

(1)解:B-A=
                   
(2)解:由(1)得:B-A=(a+7)(a-3),
                 ∵-7<a<3
                 ∴a+7>0,a-3<0
                 ∴(a+7)(a-3)<0,
                   即B-A<0
                   ∴B<A 。

据专家权威分析,试题“利用分解因式,可得:,,已知A=a+2,B=a2+5a-19其中-7<a<3。(1)将..”主要考查你对  整式的乘法,不等式的性质,因式分解  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

整式的乘法不等式的性质因式分解

考点名称:整式的乘法

  • 整式的乘法:
    包括(单项式)与(单项式)相乘;(单项式)与(多项式)相乘;(多项式)与(多项式)相乘
    单项式与单项式相乘的运算法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。

  • 整式乘法法则:
    1、同底数的幂相乘:
    法则:同底数的幂相乘,底数不变,指数相加。数学符号表示:am.an=am+n(其中m、n为正整数)
    2、幂的乘方:
    法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘。数学符号表示:(amn=amn(其中m、n为正整数)
    3、积的乘方:
    法则:积的乘方,先把积中各因式分别乘方,再把所得的幂相乘。(即等于积中各因式乘方的积。)
    数学符号表示:(ab)n=anbn(其中n为正整数)
    4、单项式与单项式相乘:
    把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式。
    5、单项式与多项式相乘:
    就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
    6、多项式与多项式相乘:
    先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
    7、乘法公式:
    平方差公式:(a+b)·(a-b)=a2-b2
    完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2

  • 整式乘法运算:
    单项式乘以单项式法则:
    单项式与单项式相乘,利用乘法交换律和结合律,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余的字母连同它的指数不变,一起作为积的因式.
    注:单项式乘以单项式,实际上是运用了乘法结合律和同底数的幂的运算法则完成的。
    ①.积的系数等于各因式系数的积,先确定符号,再计算绝对值.这时容易出现的错误是,将系数相乘与指数相加混淆,
    如2a3·3a2=6a5,而不要认为是6a6或5a5.
    ②.相同字母的幂相乘,运用同底数幂的乘法运算性质.
    ③.只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数作为积的一个因式.
    ④.单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用.
    ⑤.单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式.

    单项式乘以多项式的运算法则:
    单项式与多项式相乘,就是根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项,转化为单项式与单项式的乘法,然后再把所得的积相加.
    法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
    方法总结:在探究多项式乘以多项式时,是把某一个多项式看成一个整体,利用分配律进行计算,这里再一次说明了整体性思想在数学中的应用。

考点名称:不等式的性质

  • 不等式的性质:
    1、不等式的基本性质:
    不等式性质1:不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变。即如果a>b,那么a±c>b±c。
    不等式性质2:不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。即如果a>b,c>0,那么ac>bc(或)。

    不等式性质3:不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。即如果a>b,c<0,那么ac<bc(或)。
    2、不等式的互逆性:若a>b,则b<a。
    3、不等式的传递性:若a>b,b>c,则a>c。

  • 不等式的性质:
    ①如果x>y,那么y<x;如果y<x,那么x>y;(对称性)
    ②如果x>y,y>z;那么x>z;(传递性)
    ③如果x>y,而z为任意实数或整式,那么x+z>y+z;(加法原则,或叫同向不等式可加性)
    ④ 如果x>y,z>0,那么xz>yz;如果x>y,z<0,那么xz<yz;(乘法原则)
    ⑤如果x>y,z>0,那么x÷z>y÷z;如果x>y,z<0,那么x÷z<y÷z;
    ⑥如果x>y,m>n,那么x+m>y+n;(充分不必要条件)
    ⑦如果x>y>0,m>n>0,那么xm>yn;
    ⑧如果x>y>0,那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数),x的n次幂<y的n次幂(n为负数)

    或者说,不等式的基本性质有:
    ①对称性;
    ②传递性:
    ③加法单调性:即同向不等式可加性:
    ④乘法单调性:
    ⑤同向正值不等式可乘性:
    ⑥正值不等式可乘方:
    ⑦正值不等式可开方:
    ⑧倒数法则。

  • 不等式的基本性质和等式的基本性质的异同:
    ①相同点:无论是等式还是不等式,都可以在它的两边加(或减)同一个数或同一个整式;
    ②不同点:对于等式来说,在等式的两边乘(或除以)同一个正数(或同一个负数),等式仍然成立,但是对于不等式来说,却不大一样,在不等式的两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,而在不等式的两边乘(或除以)同一个负数,不等号要改变方向。

  • 原理
    ①不等式F(x)< G(x)与不等式 G(x)>F(x)同解。
    ②如果不等式F(x) < G(x)的定义域被解析式H( x )的定义域所包含,那么不等式 F(x)<G(x)与不等式F(x)+H(x)<G(x)+H(x)同解。
    ③如果不等式F(x)<G(x) 的定义域被解析式H(x)的定义域所包含,并且H(x)>0,那么不等式F(x)<G(x)与不等式H(x)F(x)<H( x )G(x) 同解;如果H(x)<0,那么不等式F(x)<G(x)与不等式H (x)F(x)>H(x)G(x)同解。
    ④不等式F(x)G(x)>0与不等式同解;不等式F(x)G(x)<0与不等式同解。

考点名称:因式分解

  • 定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作把这个多项式分解因式。
    它是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具。

  • 因式分解没有普遍适用的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上,又有拆项和添减项法,十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式,轮换对称多项式法,余式定理法,求根公式法,换元法,长除法,短除法,除法等。
    注意四原则:
    1.分解要彻底(是否有公因式,是否可用公式)
    2.最后结果只有小括号
    3.最后结果中多项式首项系数为正(例如:)不一定首项一定为正。

  • 因式分解中的四个注意
    ①首项有负常提负,
    ②各项有“公”先提“公”,
    ③某项提出莫漏1,
    ④括号里面分到“底”。
    现举下例,可供参考。
    例:
    把-a2-b2+2ab+4分解因式。
    解:-a2-b2+2ab+4
    =-(a2-2ab+b2-4)
    =-[(a-b)2-4]
    =-(a-b+2)(a-b-2)
    这里的“负”,指“负号”。
    如果多项式的第一项是负的,一般要提出负号,使括号内第一项系数是正的;

    这里的“公”指“公因式”。
    如果多项式的各项含有公因式,那么先提取这个公因式,再进一步分解因式;

    这里的“1”,是指多项式的某个整项是公因式时,先提出这个公因式后,括号内切勿漏掉1。

    分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底,不能半途而废的意思。
    其中包含提公因式要一次性提“干净”,不留“尾巴”,并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
    在没有说明化到实数时,一般只化到有理数就够了,有说明实数的话,一般就要化到实数!
    由此看来,因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中,与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话:“先看有无公因式,再看能否套公式,十字相乘试一试,分组分解要合适”等是一脉相承的。

  • 分解步骤:
    ①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;
    ②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解;
    ③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解
    ④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
    也可以用一句话来概括:“先看有无公因式,再看能否套公式。十字相乘试一试,分组分解要相对合适。”

    分解因式技巧掌握:
    ①分解因式是多项式的恒等变形,要求等式左边必须是多项式
    ②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示
    ③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数
    ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
    注:分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑。

    主要方法:
    1.提取公因式法:
    如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
    提公因式法基本步骤:
    (1)找出公因式
    (2)提公因式并确定另一个因式:
    ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母
    ②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式
    ③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同。

    2.公式法:
    把乘法公式的平方差公式和完全平方公式反过来,得到因式分解的公式:
    平方差公式:a2-b2=(a+b)·(a-b);
    完全平方式:a2±2ab+b2=(a±b)2
    立方差公式:

    3.分组分解法:
    利用分组分解因式的方法叫做分组分解法,ac+ad+bc+bd=a·(c+d)+b·(c+d)=(a+b)·(c+d)
    其原则:
    ①连续提取公因式法:分组后每组能够分解因式,每组分解因式后,组与组之间又有公因式可提。
    ②分组后直接运用公式法:分组后各组内可以直接应用公式,各组分解因式后,使组与组之间构成公式的形式,然后用公式法分解因式。

    4.十字相乘法:a2+(p+q)·a+p·q=(a+p)·(a+q)。

    5.解方程法:
    通过解方程来进行因式分解,如
    x2+2x+1=0 ,解,得x1=-1,x2=-1,就得到原式=(x+1)×(x+1)

    6.待定系数法:
    首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。
    例:
    分解因式x -x -5x -6x-4
    分析:易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。
    解:
    设x -x -5x -6x-4
    =(x +ax+b)(x +cx+d)
    = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
    所以 解得 a=1,b=1,c=-2,d=-4
    则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

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