题文

若对于任意n个连续正整数中，总存在一个数的数字之和是8的倍数．试确定n的最小值．并说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

先证n≤14时，题设的性质不成立． 当N=14时，对于9999993，9999994，…，10000006这14个连续整数，任意一个数的数字之和均不能被8整除． 故n≤14时，题设的性质不成立． 因此，要使题设的性质成立，应有n≥15． 再证n=15时，题设的性质成立． 设a1，a2，…，a15为任意的连续15个正整数，则这15个正整数中，个位数字为0的整数最多有两个，最少有一个，可以分为： （1）当a1，a2，…，a15中个位数字为0的整数有两个时， 设ai＜aj，且ai、aj的个位数字为0，则满足ai，ai+1，…，ai+9，aj为连续的11个整数，其中ai，ai+1，…，ai+9，aj无进位． 设ni表示ai各位数字之和，则前10个数各位数字之和分别为ni，ni+1，…，ni+9． 故这连续的10个数中至少有一个被8整除． （2）当a1，a2，…，a15中个位数字为0的整数有一个时（记为ai）， ①若整数i满足1≤i≤8时，则在ai后面至少有7个连续整数，于是ai，ai+1，…，ai+7这8个连续整数的个位数字之和也为8个连续整数，所以，必有一个数能被8整除． ②若整数i满足9≤i≤15时，则在ai前面至少有8个连续整数，不妨设ai-8，ai-7，…，ai-1这8个连续整数的个位数字之和也为8个连续整数，所以，必有一个数能被8整除． 综上，对于任意15个连续整数中，必有一个数，其各位数字之和是8的倍数． 而小于15个的任意连续整数不成立此性质． ∴n的最小值是15．

据专家权威分析，试题“若对于任意n个连续正整数中，总存在一个数的数字之和是8的倍数．试..”主要考查你对  整式的加减乘除混合运算  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

整式的加减乘除混合运算

考点名称：整式的加减乘除混合运算

• 加法、减法、乘法和除法，统称为四则运算。
  其中，加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算。
  注意运算顺序，先做乘方，再做乘除，最做加减运算，如果有同类项，就合并同类项，要求结果必须是最简形式。

• 基本运算顺序：
  只有一级运算时，从左到右计算；
  有两级运算时，先乘除,后加减。
  有括号时，先算括号里的；
  有多层括号时，先算小括号里的。
  要是有平方，先算平方。
  在混合运算中，先算括号内的数，括号从小到大，然后从高级到低级。