题文

观察下面的变形规律： 1 1×2 =1- 1 2 ； 1 2×3 = 1 2 - 1 3 ； 1 3×4 = 1 3 - 1 4 ；… 解答下面的问题： （1）若n为正整数，请你猜想 1 n(n+1) =______； （2）证明你猜想的结论； （3）求和： 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +…+ 1 2009×2010 ．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）由 1 1×2 = 1 1 - 1 2 ； 1 2×3 = 1 2 - 1 3 ； 1 3×4 = 1 3 - 1 4 ，…则： 1 n(n+1) = 1 n - 1 n+1 ； （2） 1 n - 1 n+1 = n+1 n(n+1) - n n(n+1) = n+1-n n(n+1) = 1 n(n+1) ； （3） 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +…+ 1 2009×2010 =1- 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 +…+ 1 2009 - 1 2010 =1- 1 2010 = 2009 2010 ．

据专家权威分析，试题“观察下面的变形规律：11×2=1-12；12×3=12-13；13×4=13-14；…解答下..”主要考查你对  分式的加减  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

分式的加减

考点名称：分式的加减

• 分式的加减法则：
  同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；
  异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。
  用式子表示为：
  

• 分式的加减要求：
  ①分式的加减运算结果必须是最简分式或整式，运算中要适时地约分；
  ②如果一个分式与一个整式相加减，那么可以把整式看成是分母为1的分式，先通分，再进行加减。