题文

【背景】小明和小亮研究一道习题：“已知m＞n＞0，若分式 n m 的分子、分母都加上1，所得的分式 n+1 m+1 的值增大了还是减小了？”． 小明想到了“用 n m 减去 n+1 m+1 判断差的正负性”的思路； 小亮的想法是“可以直接将两个分式化成分母相同，再比较分子的大小”． 两人的解题思路都正确． 【问题】 （1）小亮提出问题：已知m＞n＞1，分式 n m 的分子、分母都减去1后所得的分式 n-1 m-1 的值增大了还是减小了？请你探索解答这个问题． （2）小明进一步提出问题：已知m＞n＞a，分式 n m 的分子、分母都减去a后，所得分式 n-a m-a 的值增大了还是减小了？请你探索解答这个问题．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1） n m - n-1 m-1 = n(m-1)-m(n-1) m(m-1) = m-n m(m-1) ， ∵m＞n＞1， ∴m-n＞0，m（m-1）＞0， ∴ m-n m(m-1) ＞0，即 n m ＞ n-1 m-1 ， ∴分式 n m 的分子、分母都减去1后所得的分式 n-1 m-1 的值减小了； （2） n m - n-a m-a = n(m-a)-m(n-a) m(m-a) = (m-n)a m(m-a) ， ∵m＞n＞a， ∴当m＞n＞a＞0时，（m-n）a＞0，m（m-a）＞0， ∴ n m ＞ n-a m-a ； 当0＞m＞n＞a时，（m-n）a＜0，m（m-a）＜0， ∴ (m-n)a m(m-a) ＞0， ∴ n m ＞ n-a m-a ； 当m＞0，n＜0时，a＜n＜0， ∴（m-n）a＜0，m（m-a）＞0， ∴ (m-n)a m(m-a) ＜0，即 n m ＜ n-a m-a ； 当m＞n＞0，a＜0时，（m-n）a＜0，m（m-a）＞0， ∴ (m-n)a m(m-a) ＜0，即 n m ＜ n-a m-a ．

据专家权威分析，试题“【背景】小明和小亮研究一道习题：“已知m＞n＞0，若分式nm的分子、分母..”主要考查你对  分式的加减  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

分式的加减

考点名称：分式的加减

• 分式的加减法则：
  同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；
  异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。
  用式子表示为：
  

• 分式的加减要求：
  ①分式的加减运算结果必须是最简分式或整式，运算中要适时地约分；
  ②如果一个分式与一个整式相加减，那么可以把整式看成是分母为1的分式，先通分，再进行加减。