题文

阅读下面材料，并完成下列问题． 不难求得方程x+ 2 x =3+ 2 3 的解为x1=3，x2= 2 3 ；x+ 2 x =4+ 2 4 的解为x1=4，x2= 2 4 ；x+ 2 x =5+ 2 5 的解为x1=5，x2= 2 5 ． （1）观察上述方程及其解，可猜想关于x的方程x+ 2 x =a+ 2 a 的解是______； （2）试求出关于x的方程x+ 2 x =a+ 2 a 的解的方法证明你的猜想； （3）利用你猜想的结论，解关于x的方程 x2-x+2 x-1 =a+ 2 a-1 ．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）猜想：x的方程x+ 2 x =a+ 2 a 的解是x1=a，x2= 2 a ． （2）去分母，得到ax2+2a=a2x+2x， ∴ax（x-a）+2（a-x）=0， ∴（x-a）（ax-2）=0， x1=a，x2= 2 a ． （3）解方程（x2-x+2）÷（x-1）=a+ 2 a-1 [x（x-1）+2]÷（x-1）=a+ 2 a-1 x+ 2 x-1 =a+ 2 a-1 两边同加-1，（x-1）+ 2 x-1 =（a-1）+ 2 a-1 所以x-1=a-1，或者x-1= 2 a-1 因此 x1=a，x2=1+ 2 a-1 = a+1 a-1 ．

据专家权威分析，试题“阅读下面材料，并完成下列问题．不难求得方程x+2x=3+23的解为x1=3..”主要考查你对  解分式方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

解分式方程

考点名称：解分式方程

• 解法：
  解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，其一般步骤是：
  （1）去分母：分式方程两边同乘以方程中各分母的最简公分母，把分式方程转化为整式方程。
  (最简公分母:①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂）
  （2）解方程：解整式方程，得到方程的根；
  （3）验根：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；
  否则，这个解不是原分式方程的解，是原分式方程的增根。
  如果分式本身约分了，也要带进去检验。
  在列分式方程解应用题时，不仅要检验所得解的是否满足方程式，还要检验是否符合题意。
  一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.
  注意：
  （1）注意去分母时，不要漏乘整式项。
  （2）増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。
  （3）増根使最简公分母等于0。
  
  分式方程的特殊解法：
  换元法：
  换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。

• 解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。
  解分式方程注意：
  ①解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，通过解整式方程进一步求得分式方程的解；
  ②用分式方程中的最简公分母同乘方程的两边，从而约去分母，但要注意用最简公分母乘方程两边各项时，切勿漏项；
  ③解分式方程可能产生使分式方程无意义的情况，那么检验就是解分式方程的必要步骤。