题文

已知 a 1+a+ab + b 1+b+bc + c 1+c+ca =1，求证：abc=1．

题型：解答题  难度：中档

答案

设abc=k，ab+a+1=u，bc+b+1=v，ac+c+1=w， 两边分别乘以c，a，b得： abc+ca+c=cu，代入abc=k并根据ac+c+1=w得到：k-1+w=cu…（1） abc+ab+a=av，代入abc=k并根据ab+a+1=u得到：k-1+u=av…（2） abc+bc+b=bw，代入abc=k并根据bc+b+1=v得到：k-1+v=bw…（3） 已知： a u + b v + c w =1，两边同乘以uvw得：avw+buw+cuv=uvw （1）两边乘以v；（2）两边乘以w；（3）两边乘以u相加可得： （k-1）（u+v+w）+uv+vw+uw=avw+buw+cuv=uvw…（4） （1）×（2）×（3）三式得：（k-1+u）（k-1+v）（k-1+w）=abcuvw=kuvw， ∴（k-1）3+（u+v+w）（k-1）2+（uv+vw+uw）（k-1）-uvw（k-1）=0， （k-1）[（k-1）2+（u+v+w）（k-1）+（uv+vw+uw）-uvw]=0， 与（4）比较可得：（k-1）3=0， ∴k=1， 即：abc=1．

据专家权威分析，试题“已知a1+a+ab+b1+b+bc+c1+c+ca=1，求证：abc=1．-数学-”主要考查你对  分式的加减乘除混合运算及分式的化简  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

分式的加减乘除混合运算及分式的化简

考点名称：分式的加减乘除混合运算及分式的化简

• 分式的加减乘除混合运算：
  分式的混合运算应先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的。也可以把除法转化为乘法，再运用乘法运算。
  
  分式的化简：借助分式的基本性质，应用换元法、整体代入法等，通过约分和通分来达到简化分式的目的。
  

• 分式的混合运算：
  在解答分式的乘除法混合运算时，注意两点，就可以了：
  注意运算的顺序：按照从左到右的顺序依次计算；
  注意分式乘除法法则的灵活应用。