题文

（1）已知关于x的一元二次方程2x2-8nx+10x-n2+35n-76=0（n为自然数）的两根都为质数，求此方程的两根． （2）已知x-3x+1=0，求 x2 x4+x2+1 的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）由于两根之和为4n-5是一个奇数，而两根都是质数，所以必有一根是2， 把2代入方程，得8-16n+20-n2+35n-76=0， 即n2-19n+48=0， 解得n=3或16， 当n=3时，原方程为2x2-14x+20=0，此时两根为2和5； 当n=16时，原方程为2x2-118x+228=0，此时两根为2和57． 即此方程的三根为2、5、57． （2）∵x-3x+1=0， ∴x= 1 2 所以 x2 x4+x2+1 = ( 1 2 )2 ( 1 2 )4+( 1 2 )2+1 = 4 21 ．

据专家权威分析，试题“（1）已知关于x的一元二次方程2x2-8nx+10x-n2+35n-76=0（n为自然数）..”主要考查你对  分式的加减乘除混合运算及分式的化简，一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

分式的加减乘除混合运算及分式的化简一元二次方程根与系数的关系

考点名称：分式的加减乘除混合运算及分式的化简

• 分式的加减乘除混合运算：
  分式的混合运算应先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的。也可以把除法转化为乘法，再运用乘法运算。
  
  分式的化简：借助分式的基本性质，应用换元法、整体代入法等，通过约分和通分来达到简化分式的目的。
  

• 分式的混合运算：
  在解答分式的乘除法混合运算时，注意两点，就可以了：
  注意运算的顺序：按照从左到右的顺序依次计算；
  注意分式乘除法法则的灵活应用。

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0