题文

（1）“三等分角”是数学史上一个著名问题，但数学家已经证明，仅用尺规不可能“三等分任意角”，但对于特定度数的已知角，如90°角、45°角等，是可以用尺规进行三等分的，如图a，∠AOB=90°，我们在边OB上取一点C，用尺规以OC为一边向∠AOB内部作等边△OCD，作射线OD，再用尺规作出∠DOB的角平分线OE，则射线OD、OE将∠AOB三等分，仔细体会一下其中的道理，然后用尺规把图b中的∠MON三等分（已知∠MON=45°）；（不需写作法，但需保留作图痕迹，允许适当添加文字的说明）

（2）数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法（如图c）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数的图象交于点P，以P为圆心、2OP长为半径作弧交图象于点R， 分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=∠AOB，要明白帕普斯的方法，请研究以下问题： ①设、，求直线OM对应的函数关系式（用含a、b的代数式表示）； ②分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q，请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB=∠AOB。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）， 我们在边ON上取一点A，用尺规以OA为一边向∠MON的外部作等边△OAB，用尺规作出∠AOB的角平分线OC，再用尺规作出∠CON的角平分线OD，则射线OD、OC将∠MON三等分； （2）①因为P（a，），R（b，）且是分别过点P和R作x轴和y轴的平行线； 所以M（b，） 设OM的函数表达式为y=kx， ， 所以y=； ②因为P（a，1/a），R（b，1/b）且是分别过点P和R作x轴和y轴的平行线 所以Q（a，1/b） 因为Q在OM上， 所以把Q（a，y）代入y=x/ab，y=1/b 因为1/b=1/b， 所以Q在OM上易证得四边形PQRM为矩形 所以PS=RS=OS=MS 所以∠SQR=∠SRQ， 因为∠PSQ为△SQR外角 所以∠PSQ=2∠SQR， 因为QR平行于x轴， 所以∠SQR=∠SOH 因为PR=2PO， 所以PO=PS 所以∠PSQ=∠POS， 所以∠POS=2∠SQR 所以∠POS=2∠SOH， 所以∠MOB=∠AOB。

据专家权威分析，试题“（1）“三等分角”是数学史上一个著名问题，但数学家已经证明，仅用尺..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用，矩形，矩形的性质，矩形的判定，尺规作图，角平分线的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用矩形，矩形的性质，矩形的判定尺规作图角平分线的性质

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。

考点名称：矩形，矩形的性质，矩形的判定

• 矩形:
  是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的对角线相等，而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。

• 矩形的性质：
  1．矩形的4个内角都是直角；
  2．矩形的对角线相等且互相平分；
  3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等；
  4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
  5．矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质
  6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形

• 矩形的判定：
  ①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
  ②定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
  ③定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
  ④对角线互相平分且相等的四边形是矩形
  矩形的面积：S_矩形=长×宽=ab。

• 黄金矩形:
  宽与长的比是（√5-1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。
  黄金矩形给我们一协调、匀称的美感。世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。如希腊的巴特农神庙等。

考点名称：尺规作图

• 尺规作图：
  是指限定用没有刻度的直尺和圆规来完成的画图。
  一把没有刻度的直尺看似不能做什么，画一个圆又不知道它的半径，画线段又没有精确的长度。
  其实尺规作图的用处很大，比如单用圆规找出一个圆的圆心，量度一个角的角度，等等。
  运用尺规作图可以画出与某个角相等的角，十分方便。

• 尺规作图的中基本作图：
  作一条线段等于已知线段；
  作一个角等于已知角；
  作线段的垂直平分线；
  作已知角的角平分线；
  过一点作已知直线的垂线。
  还有：
  已知一角、一边做等腰三角形
  已知两角、一边做三角形
  已知一角、两边做三角形
  依据公理：
  还可以根据已知条件作三角形，一般分为已知三边作三角形，已知两边及夹角作三角形，已知两角及夹边作三角形等，作图的依据是全等三角形的判定定理：SSS，SAS，ASA等。
  注意：
  保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理。

• 尺规作图方法：
  任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：
  ·通过两个已知点可作一直线。
  ·已知圆心和半径可作一个圆。
  ·若两已知直线相交，可求其交点。
  ·若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。
  ·若两已知圆相交，可求其交点。

• 尺规作图简史：
  “规”就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规”这个字.“矩”就像现在木工使用的角尺，由长短两尺相交成直角而成，两者间用木杠连接以使其牢固，其中短尺叫勾，长尺叫股.
  矩的使用是我国古代的一个发明，山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角，加上刻度可以测量，还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字，这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.
  《史记》卷二记载大禹治水时“左准绳，右规矩”.赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之势，……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先测量地势的高低，就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.
  春秋时代也有不少著作涉及规矩的论述，《墨子》卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规矩，以度天下之方圆.”《孟子》卷四中说“离娄(传说中目力非常强的人)之明，公输子(即鲁班，传说木匠的祖师)之巧，不以规矩，不能成方圆.”可见，在春秋战国时期，规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度，因此使用范围较广，具有较大的实用性.
  古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值.因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺规作图问题.所谓尺规作图，就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图.
  古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被判处死刑.在监狱里，他思考改圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活.他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度.另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的《几何原本》.由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来.
  由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.当时很多有名的希腊数学家，都曾着力于研究这三大问题，虽然借助于其他工具或曲线，这三大难题都可以解决，但由于尺规作图的限制，却一直未能如愿以偿.以后两千年来，无数数学家为之绞尽脑汁，都以失败而告终.直到1637年笛卡尔创立了解析几何，关于尺规作图的可能性问题才有了准则.到了1837年万芝尔首先证明立方倍积问题和三等分任意角问题都属于尺规作图不可能问题.1882年林德曼证明了π是无理数，化圆为方问题不可能用尺规作图解决，这才结束了历时两千年的数学难题公案.

考点名称：角平分线的性质

• 角平分线：
  三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。三角形的角平分线交点一定在三角形内部。

• 角平方线定理：
  ①角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。
  ②角平分线能得到相同的两个角，都等于该角的一半。
  ③三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
  ④三角形的三个角的角平分线相交于一点，这个点称为内心 ，即以此点为圆心可以在三角形内部画一个内切圆。
  逆定理：
  在角的内部，到角两边的距离相等的点在角平分线上。

• 角平分线作法：
  在角AOB中，画角平分线
  
  方法一：
  1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M，N。
  2.分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。
  3.作射线OP。
  则射线OP为角AOB的角平分线。
  当然，角平分线的作法有很多种。下面再提供一种尺规作图的方法供参考。
  
  方法二：
  1.在两边OA、OB上分别截取OM、OA和ON、OB，且使得OM=ON，OA=OB；
  2.连接AN与BM，他们相交于点P；
  3.作射线OP。
  则射线OP为角AOB的角平分线。