题文

如图，矩形OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴，y轴上，连接OB，将纸片OABC沿BC折叠，使点A落在点A′处，A′B与y轴交于点F，已知OA=1，AB=2。

（1）设CF=x，则OF=_____； （2）求BF的长； （3）设过点B的双曲线为l，试问双曲线l上是否存在一点M，使得以OB为一边的△OBM的面积等于1？若存在，试求出点M的横坐标；若不存在，试说明理由。

题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1）； （2）由轴对称的性质可知：∠FBO=∠OBA 在矩形OABC中，OC∥AB，则∠FOB=∠OBA ∴∠FBO=∠OBA ∴BF=OF= 在Rt△FCB中，BC=OA=1，由勾股定理可得 即： 解得 则BF=OF=。 （3）设双曲线l的解析式为： 又过点B（1，2） ∴， ∴ 因为S△OAB==×1×2=1 ∴S△COB=S△A′OB=1 ∴双曲线l上符合条件的点M，应在与OB平行且距离等于点C到OB的距离的直线上。 直线OB过点（0，0），（1，2） 直线OB的解析式为，则过点C与OB平行的直线为： 点M可能是过点C且与OB平行的直线与双曲线的交点 由，解得 由轴对称性可知，点M可能是过点A且与OB平行的直线与双曲线l的交点 由，解得： 综上，符合条件的点M的横坐标是或x=。

据专家权威分析，试题“如图，矩形OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴，y轴..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用，求一次函数的解析式及一次函数的应用，轴对称，勾股定理，矩形，矩形的性质，矩形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用求一次函数的解析式及一次函数的应用轴对称勾股定理矩形，矩形的性质，矩形的判定

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)

考点名称：轴对称

• 轴对称的定义：
  把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合 ，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。轴对称和轴对称图形的特性是相同的，对应点到对称轴的距离都是相等的。

• 轴对称的性质：
  （1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；
  （2）对应线段相等，对应角相等；
  （3）关于某直线对称的两个图形是全等图形。

• 轴对称的判定：
  如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
  这样就得到了以下性质：
  1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
  2.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
  3.线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。　
  4.对称轴是到线段两端距离相等的点的集合。

  轴对称作用:
  可以通过对称轴的一边从而画出另一边。
  可以通过画对称轴得出的两个图形全等。
  扩展到轴对称的应用以及函数图像的意义。

  轴对称的应用:
  关于平面直角坐标系的X,Y对称意义
  如果在坐标系中，点A与点B关于直线X对称，那么点A的横坐标不变，纵坐标为相反数。
  相反的,如果有两点关于直线Y对称,那么点A的横坐标为相反数,纵坐标不变。

  关于二次函数图像的对称轴公式(也叫做轴对称公式 )
  设二次函数的解析式是 y=ax²+bx+c
  则二次函数的对称轴为直线 x=-b/2a,顶点横坐标为 -b/2a,顶点纵坐标为 (4ac-b²)/4a

  在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质。
  譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；
  矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；
  正方形，菱形问题经常添设对角线等等。
  另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，
  或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中。

考点名称：勾股定理

• 勾股定理:
  直角三角形两直角边(即“勾”，“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。也就是说，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么。
  勾股定理只适用于直角三角形，应用于解决直角三角形中的线段求值问题。

• 定理作用
  ⑴勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。
  ⑵勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。
  ⑶勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。
  ⑷勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。

• 勾股定理的应用：
  数学
  从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率等，运用勾股定理数学家还发现了无理数。
  勾股定理在几何学中的实际应用非常广泛，较早的应用案例有《九章算术》中的一题：“今有池，芳一丈，薛生其中央，出水一尺，引薛赴岸，适与岸齐，问水深几何？答曰："一十二尺"。
  
  生活
  勾股定理在生活中的应用也较广泛，举例说明如下：
  1、挑选投影设备时需要选择最佳的投影屏幕尺寸。以教室为例，最佳的屏幕尺寸主要取决于使用空间的面积，从而计划好学生座位的多少和位置的安排。选购的关键则是选择适合学生的屏幕而不是选择适合投影机的屏幕，也就是说要把学生的视觉感受放在第一位。一般来说在选购时可参照三点：
  第一，屏幕高度大约等于从屏幕到学生最后一排座位的距离的1/6；
  第二，屏幕到第一排座位的距离应大于2倍屏幕的高度；
  第三，屏幕底部应离观众席所在地面最少122厘米。
  屏幕的尺寸是以其对角线的大小来定义的。一般视频图像的宽高比为4:3，教育幕为正方形。如一个72英寸的屏幕，根据勾股定理，很快就能得出屏幕的宽为1.5m，高为1.1m。
  2、2005年珠峰高度复测行动。
  测量珠峰的一种方法是传统的经典测量方法，就是把高程引到珠峰脚下，当精确高程传递至珠峰脚下的6个峰顶交会测量点时，通过在峰顶竖立的测量觇标，运用“勾股定理”的基本原理测定珠峰高程，配合水准测量、三角测量、导线测量等方式，获得的数据进行重力、大气等多方面改正计算，最终得到珠峰高程的有效数据。
  通俗来说，就是分三步走：
  第一步，先在珠峰脚下选定较容易的、能够架设水准仪器的测量点，先把这些点的精确高程确定下来；
  第二步，在珠峰峰顶架起觇标，运用三角几何学中“勾股定理”的基本原理，推算出珠峰峰顶相对于这几个点的高程差；
  第三步，获得的高程数据要进行重力、大气等多方面的改正计算，最终确定珠峰高程测量的有效数据。

考点名称：矩形，矩形的性质，矩形的判定

• 矩形:
  是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的对角线相等，而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。

• 矩形的性质：
  1．矩形的4个内角都是直角；
  2．矩形的对角线相等且互相平分；
  3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等；
  4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
  5．矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质
  6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形

• 矩形的判定：
  ①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
  ②定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
  ③定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
  ④对角线互相平分且相等的四边形是矩形
  矩形的面积：S_矩形=长×宽=ab。

• 黄金矩形:
  宽与长的比是（√5-1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。
  黄金矩形给我们一协调、匀称的美感。世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。如希腊的巴特农神庙等。