题文

已知双曲线y= k x 与直线y= 1 4 x相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线y= k x 上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，-n）作NC∥x轴交双曲线y= k x 于点E，交BD于点C． （1）若点D坐标是（-8，0），求A、B两点坐标及k的值； （2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式； （3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p-q的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵D（-8，0）， ∴B点的横坐标为-8，代入y= 1 4 x中，得y=-2， ∴B点坐标为（-8，-2）， 而A、B两点关于原点对称，∴A（8，2）， ∴k=8×2=16； （2）∵N（0，-n），B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上， ∴mn=k，B（-2m，- n 2 ），C（-2m，-n），E（-m，-n）， ∴S矩形DCNO=2mn=2k， ∴S△DBO= 1 2 mn= 1 2 k， ∴S△OEN= 1 2 mn= 1 2 k， ∴S四边形OBCE=S矩形DCNO-S△DBO-S△OEN=k， ∴k=4， 由直线y= 1 4 x及双曲线y= 4 x ，得A（4，1），B（-4，-1）， ∴C（-4，-2），M（2，2）， 设直线CM的解析式是y=ax+b， 由C、M两点在这条直线上，得 -4a+b=-2 2a+b=2 ， 解得a=b= 2 3 ， ∴直线CM的解析式是y= 2 3 x+ 2 3 ； （3）如图1，分别作AA1⊥x轴，MM1⊥x轴，垂足分别为A1、M1， 设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为-a， 于是p= MA MP = A1M1 M1O = a-m m ， 同理q= MB MQ = m+a m ， ∴p-q= a-m m - m+a m =-2． 本题也可用相似求解，如图，酌情给分．

据专家权威分析，试题“已知双曲线y=kx与直线y=14x相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。