1637年，法国数学家笛卡尔正式使用“实数”、“虚数”这两个名词。此后，德国的数学家莱布尼兹、瑞士的数学家欧拉和法国数学家棣莫弗等研究了虚数与对数函数、三角函数之间的关系。除了解方程外，还把他应用于微积分方面，得出很多有价值的结果。欧拉还首先用i来表示-1的平方根。

　　1797年，挪威数学家维赛尔在平面引入数轴，以实轴和虚轴所确定的平面向量表示这类新数，不同的向量对应不同的点，因而表示的复数也互不相同。他还用几何术语定义了这类新数与向量的运算，建立了平行四边形法则，这样，它实际上已揭示了这类新数及其运算的几何意义，但在当时未引起人们的注意。

　　1806年，瑞士数学家阿甘德首先把这类新数表示成三角形式，并把它们与平面内线段的旋转结合起来，例如分别被看成单位线段按照逆时针与顺时针方向旋转90度所得的结果。可以这样理解：一个实数乘以1，相当于原地没动；乘以-1，相当于向后转；乘以i ,相当于向左转；乘以-i，相当于向右转，这是复数的乘法。再来考虑复数的加法，+5，向右走5个单位；-5，向左走5个单位；+5i向上走5个单位；-5i向下走5个单位。

　　1816年，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时应用并论述了这类新数，而且首次引进“复数”这个名词，把复数和复平面内的点一一对应起来，从而建立了复数的几何基础。

　　1837年，爱尔兰数学家哈密顿用有序实数对（a,b）定义了复数及其运算，并说明复数的加、乘运算满足实数的运算律；实数则被看成特殊的复数(a,0)。这样，历经三百年的努力，数系从实数系向复数系的扩张才得以完成。

参考文献：
1、张景中 漫话数学  中国少年儿童出版社 2003
2、纪志刚 从计数法到复数域：数系理论的历史发展 上海交通大学学报 2003.6