解法二（瓜豆秒杀法）：

此改编小题，若采取“瓜豆原理”，借助“捆绑变换”，是很显然的事，具体解释如下：

由点P为线段AM的中点，易知从动点P可以看成主动点M以定点A为位似中心，位似比为0.5缩小而来；

如果你觉得一个点在作位似变换很奇怪，那么也可以看成是线段在作相应的变换，即线段AM以定点A为位似中心，位似比为0.5缩小而得到线段AP；

这就不奇怪了吧，其实有关线段的中点问题，经常可以这样看待；

每一个从动点P都是由相应的主动点M如此变换得到，这样一来，从动点P的路径肯定也是主动点M的路径，即线段BC如此变换而来；

“种瓜得瓜，种豆得豆”，很显然从动点P的路径也是一条线段，即为ABC的中位线EF！

其实题目要求的是动点P的路径长，当你分析到“从动点P可以看成主动点M以定点A为位似中心，位似比为0.5缩小而来”时，熟练的话，就可以直接秒杀问题了，即从动点P的路径长定是主动点M的路径长的一半，即为BC的一半，搞定，Easy的不要不要滴！

下面再来解决知识应用：

第一步（构造共顶点的双等边三角形）：

如图17-6，在边BC上截取BM=BE=AF，则易知CM=CF，从而△BEM与△CFM都是等边三角形；

第二步（证得“平四”）：由双等边三角形△BEM与△CFM，易证得四边形AEMF为平行四边形；

第三步（同一法转移中点Q）：如图17-7，连接AM，则由□AEMF易知，AM与EF互相平分，即EF的中点Q也是AM的中点；

第四步（平行距离法或瓜豆原理秒杀路径）：这样问题不就转化为了前面的改编题了嘛！无论是用“平行距离法”还是用“瓜豆秒杀法”都可以轻松搞定，答案为4，不再赘述！

解题后反思：此题通过在边BC上截取BM=BE，恰到好处地利用了BE=AF，推导出CM=CF，进而得到了共顶点的双等边三角形，辅助线的构造“异想天开”、美妙精彩；

然后识别平行四边形，借助一定的“同一法思想”，巧妙地将EF的中点Q转移到了AM的中点上，这样问题就转变成了前面刚刚解决的问题，妙到毫巅，值得深思；

经于头提示：上面的问题可以变成更本质思考：

本质问题1：在△AEF中，∠EAF=60°，E、F为两动点，但始终有AE AF为定值8，求EF的中点Q的轨迹长.

或者变成更一般的情形：

本质问题2：在△AEF中，∠EAF为定角2α，E、F为两动点，但始终有AE AF为定值a，求EF的中点Q的轨迹长（用α与a的代数式表示）.

这就是神奇的于头，其实这个问题跟上面的问题真的是殊途同归，且更本质、更直接，但又可以转化为上面的问题来解决，极其有趣，敬佩于头的敏锐与机智！大家可以想一想这两个本质问题如何求解，后续笔者会单独说明，作为路径番外篇，哈哈！

此题在图17-7的基础上，若连接BF、CE，又会形成一个很有趣的“定边对定角模型”，让我们通过下面这个变式，巩固这个常用的模型.

变式：如图17-8，已知E、F为等边△ABC边AB、AC上的两动点，且AF=BE.连结CE、BF交于点T，若等边△ABC的边长为6，求点T运动的路径长.

解法一（全等法 定边对定角）：

第一步（识别全等三角形）：如图17-9，由AF=BE易证△AFB≌△BEC（SAS）；

第二步（导角得定角）：如图17-10，由△AFB≌△BEC导角易得∠FTC＝60°，从而有∠BTC＝120°

第三步（识别定边对定角模型）：如图17-10，锁定所需结构，即定边BC对定角∠BTC；

解题后反思：解法一通过全等导角，识别“定边对定角”模型，利用轨迹圆巧算路径长；其实这道变式题还可以受原题中知识应用解法的联想，同样通过构造共顶点的双等边三角形模型来解决，而且此问题恰好变成了板块一中例15的原题，如图17-13所示，不再详述；

值得一提的是，图17-13中隐去了点A，而且将点M的精确作圆画图法体现了出来，学生注意下即可；

另外，这个有趣的构造法同时解决了原题中知识应用及其变式，将这两个问题类比在一起进行分析、反思，则更加有趣！它让我们再次感受到了数学类比、数学联想的十足趣味性以及数学构造无限的可能性！

例18.（2012年张家界中考题）如图18，已知线段AB＝6，C、D是AB上两点，且AC＝DB＝1，P是线段CD上一动点，在线段AB的同侧分别作等边△APE和等边△PBF，G为线段EF的中点，当点P由点C移动到点D时，求点G移动的路径长．

解法一（构造平行四边形 中位线模型）：

第一步（构造平行四边形）：如图18-1，延长AE、BF交于点Q，易证得四边形PEQF为平行四边形，且易知△QAB也是一个等边三角形；

其实此时，问题已经转化为了例17中知识应用中的问题，下面再重复一遍，巩固应用；

第二步（同一法转移中点G）：如图18-2，连接QP，则由□PEQF易知，QP与EF互相平分，即EF的中点G也是QP的中点；

第三步（平行距离法或瓜豆秒杀法）：接下来，无论是利用“平行距离法”还是用“瓜豆秒杀法”都可以轻松确定动点G的路径，如图18-3所示，找到点G的起始位置、终止位置，则动点G的路径即为△QCD的中位线G1G2，等于为CD的一半，长为2，问题得解！