首先来看一道例题：

例题1：计算1×2+2×3+3×4+4×5+...+99×100。

思路解析：将每一项同时扩大3倍得，

1×2×3+2×3×3+3×4×3+4×5×3+...+99×100×3

每次将前两项合并后

=99×100×101

则，原式=1/3 ×99×100×101

继而推得结论

1×2+2×3+3×4+4×5+...+n(n+1)

=1/3 ×n(n+1)(n+2)  ①

而

1×2+2×3+3×4+4×5+……+n(n+1)

=(12+22+32+42+……+n2)+(1+2+3+4+……+n)

=(12+22+32+42+……n2)+?n(n+1)  ②

由于①=②得

12+22+32+42+……+n2

=1/3 ×n(n+1)(n+2)-?n(n+1)

=1/6 ×n(n+1)(2n+4-3)

=1/6 ×n(n+1)(2n+1)

这就是今后要学的平方和公式。

再来看一道例题：

例题2：计算1×2×3+2×3×4+3×4×5+……+98×99×100。

思路解析：将每一项同时扩大4倍得，

1×2×3×4+2×3×4×4+3×4×5×4+4×5×6×4+……+98×99×100×4

每次将前两项合并后得

=98×99×100×101

则原式=1/4 ×98×99×100×101

继而推出结论

1×2×3+2×3×4+3×4×5+……+(n-1)n（n+1）

=1/4 ×(n-1)n(n+1)(n+2)   ①

而

1×2×3+2×3×4+3×4×5+……+(n-1)n（n+1）

=2×(22-1)+3×(32-1)+4×(42-1)+……+n(n2-1)

=23-2+33-3+43-4+……+n3-n

=(23+33+43+……+n3)-(2+3+4+……+n)

两边同时加1，即

=(13+23+33+43+……+n3)-(1+2+3+4+……+n)

=(13+23+33+43+……+n3)-?n(n+1)   ②

由于①=②得

13+23+33+43+……+n3

=1/4 ×(n-1)n(n+1)(n+2)+?n(n+1)

=1/4 ×n(n+1)【(n-1)(n+2)+2】

=1/4 ×n(n+1)(n2+n)

=1/4 ×n2(n+1)2

=【?n(n+1)】2

这就是立方和公式。

不管是今后要学平方和还是立方和公式，都和小学时期的课程有着非常紧密的联系。我们需要的是保持一颗自信而又好学的心。