向量 (1, 1.5) 在变换后的位置, 其实就是变换后基向量的线性表示, 也可以看到矩阵的乘法是如何计算的:

类似对于(-1, -3) 变换后的位置 , 也是一样的计算方法:

可以再次观察上面动画来体会, 验证算出的结果.

下面再看其他的变换矩阵

这里矩阵 A 的对角线中(0,2)含有一个 0 的情况, 观察下面动画 :

可以看到:

• 水平方向变为 0 倍;

• 垂直方向被拉伸为 2 倍;

• 面积的变化率为 0 倍, 也就是 Det(A) = 0;

基底的变化如下:

再看看下面这个矩阵 A 的变换:

可以看到:

• 整个空间向左倾斜转动;

• 面积放大为原来的 Det(A) = 3.5 倍;

上面在 3 个不同的矩阵作用下(相乘), 整个空间发生不同的变换, 但是原点没有改变, 且直线依然还是直线, 平行的依然保持平行, 这就是线性变换的本质.

类似, 在三维线性空间内, 矩阵也用于这样的线性变换, 需要注意的是这里行列式可以看成经过变换后体积变化的倍率. 观察下图, 经过下面矩阵 A 的变换中, 空间会经过镜像翻转变换(扁平化为线), 所以行列式的值会是负数.

04 「行列式」

这次我们主要做一个回顾, 再进一步将行列式的几何意义用动画展示说明. 我们说矩阵 A 可以视为一种线性变换, 所以

上面的式子意味着一个向量 x 在线性变换 A 后的位置将会和向量 v 重合. 现在看个例子, 整个空间在矩阵 A 的作用下是怎样的变化过程:

观看看到:

• 原来向量(1, 0.5)在经过变换后是(2, 1.5);

• 水平方向变成了原来的 2 倍;

• 纵向变成了原来的 3 倍;

• 原来的直线变换后依然还是直线, 平行的依然保持平行;

• 原点没有改变(如果没有原点, 则为仿射空间)

并且注意红色的方块面积扩大了 6 倍, 这样的面积(或体积)增大倍率就是行列式(Determinant)的几何意义, 记作: det(A) 或者 |A|

再看另一个作用矩阵线性变换的动画:

观察看到:

• 空间发生了倾斜, 但没有扭曲;

• 直线在变换后依然还是直线, 平行的依然保持平行;

• A 的第一列(1.5, -1)的落脚点为(1, 0) - 像, 第二列(-0.5, 2)的落脚点为(0, 1);

• 单位红色小方块扩大为 2.5 倍, 也就是 det(A) = 2.5

再来看这个线性变换的例子, 注意矩阵 A 中两个列向量是成比例的 - 线性相关:

观察得到:

• 空间被压缩成一条线;

• 向量(1, 0.5) 在整个变换过程中完全没有发生改变(这跟特征值与特征向量有关, 我们后文书再说);

• 面积增大倍率为 0, 也就是 det(A)=0;

这跟上一节中矩阵对角线含有 0 元素情况类似, 在这种情况下意味着不存在逆矩阵, 不过也是以后要介绍的内容了.

行列式的几何意义表示面积(体积)的增大倍率, 如在经过镜像翻转后就为负值, 上一节我们看到三维矩阵的情况, 现在看一看二维中经过镜像翻转后行列式的变化, 请注意最下变换过程中 det(A) 值从正数到负数的变化过程:

05 「矩阵的乘积/复合变换」

矩阵向量的乘积可以理解为将一个特定的线性变换作用在向量上, 本次我们先看几个特殊的矩阵下的变换以及矩阵矩阵的乘积.

▌ 零矩阵

即所有元素都是 0 的矩阵, 记为 O . 可以用下标来表示矩阵的大小:

零矩阵表示的变换是将空间压缩到原点, 可以观察在 2 阶零矩阵的作用下, 空间被压缩到原点的变化过程, 注意行列式的值最后为 0:

▌单位矩阵

是对角元素为 1, 其余都是 0 , 记为 I.

单位矩阵对空间什么都不改变, 保持基向量不变, 也被称为"恒等变换", 可以看下面对应的空间变化过程(尽管没有改变):

▌对角矩阵

除了对角元之外所有元素均为 0 的矩阵称之为对角矩阵.

对角矩阵表示的沿着坐标轴伸缩变换, 其中对角元素就是各轴伸缩的倍率, 并且下例矩阵 A 的对角元素中含有 2 个负数, 可以看做经过了 2 次镜像翻转, x,y 两个方向先是压缩, 然后再被拉伸, 面积扩大为原来的 6 倍, 这样行列式的值为 6.

上面都是进行一次变换的操作, 如果想要再进行一次(甚至更多)变换, 就要矩阵和矩阵相乘了. 譬如下面矩阵 A 相当于将空间旋转, 矩阵 B 是横向拉伸.

如果是 BA 两个矩阵相乘的运算, 就相当于先旋转再拉伸, 这样的复合变换运算顺序是从右往左进行, 可以观察下面的动画:

如果是 AB 两个矩阵相乘的运算, 就相当于先拉伸后旋转, 运算顺序是从右往左, 可以观察下面的动画:

从上面两个变换动画, 可以得出结论矩阵的乘积不满足交换律(可以想象满足结合律):

可以计算出 BA 和 AB 的值:

如何计算矩阵的乘积, 除了课本上给出的方法, 还可以按照列的线性表出来进行, 以 BA 为例:

另外, 如果两个矩阵都不是零矩阵, 但是矩阵的乘积可能会是零矩阵, 比如在下面两个矩阵:

空间中, A 做横向压缩, B 做垂直压缩, 经过 A 然后 B 的变换后, 也会映射到原点.

「矩阵的逆/逆变换」

这次我们来看如何把矩阵 A 经过变换后的向量再还原回去. 观察下面如何从变换后的向量(-1.5, 2) 还原为向量 (1, 0.5) 的过程:

注意观察要点:

• 变换后线性空间还是完整的二维空间;

• 变换后的行列式为不等于 0;

• 还原后仅有一个向量与之对应;