∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB＝90°.∴∠DAM＝30°.

∴DM＝AD·tan∠DAM＝3×3分子根号3＝根号3。

(2)如图1，延长MN交AB延长线于点Q.

∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC.

∴∠DMA＝∠MAQ.

由折叠可知△ANM≌△ADM，

∴∠DMA＝∠AMQ，AN＝AD＝3，MN＝MD＝1.

∴∠MAQ＝∠AMQ.

∴MQ＝AQ.

设NQ＝x，则AQ＝MQ＝1＋x.

在Rt△ANQ中，AQ2＝AN平方＋NQ平方，

∴(x＋1)平方＝3的平方＋x的平方.解得x＝4.

∴NQ＝4，AQ＝5.

∵AB＝4，AQ＝5，

∴SΔNAB＝4/5*S，ΔNAQ＝4/5·1/2·AN·NQ＝24/5.

(3)如图2，过点A作AH⊥BF于点H，则△ABH∽△BFC，∴BH/AH＝CF/BC.

∵AH≤AN＝3，AB＝4，

∴当点N，H重合(即AH＝AN)时，DF最大．(AH最大，BH最小，CF最小，DF最大)

此时M，F重合，B，N，M三点共线，△ABH≌△BFC(如图3)，

∴DF的最大值为4－根号7

图1

类型2　动态探究题

4．(2016·自贡)已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．

(1)如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA.若△OCP与△PDA的面积比为1∶4，求边CD的长；

(2)如图2，在(1)的条件下，擦去折痕AO，线段OP，连接BP.动点M在线段AP上(点M与点P，A不重合)，动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E.试问当动点M，N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段EF的长度．

解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°.

∴∠APD＋∠DAP＝90°.

∵由折叠可得∠APO＝∠B＝90°，

∴∠APD＋∠CPO＝90°.∴∠CPO＝∠DAP.

又∵∠D＝∠C，∴△OCP∽△PDA.∵△OCP与△PDA的面积比为1∶4，

设OP＝x，则CO＝8－x.在Rt△PCO中，∠C＝90°，

由勾股定理得

，解得x＝5.∴AB＝AP＝2OP＝10.∴CD＝10.

(2)过点M作MQ∥AN，交PB于点Q.

∵AP＝AB，MQ∥AN，

∴∠APB＝∠ABP＝∠MQP.