∴△CAE∽△CBF.

②∵△CAE∽△CBF，∴∠CAE＝∠CBF，AE/BF＝根号2.

∴BF＝根号2.

又∠CAE＋∠CBE＝90°，

∴∠CBF＋∠CBE＝90°，即∠EBF＝90°.

解得CE＝根号6.

(2)连接BF，

∵AB/BC＝EF/FC＝k，∠CFE＝∠CBA，

∴△CFE∽△CBA.

∴∠ECF＝∠ACB，CE/CF＝AC/BC.

∴∠ACE＝∠BCF.∴△ACE∽△BCF.∴∠CAE＝∠CBF.

∵∠CAE＋∠CBE＝90°，∴∠CBF＋∠CBE＝90°，

题型2　与圆有关的几何综合题

9．(2016·成都)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接ED，BE.

(1)求证：△ABD∽△AEB；

(2)当BC(AB)＝3(4)时，求tanE；

(3)在(2)的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF＝2，求⊙C的半径．

解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＝90°－∠DBC.

∵DE是直径，

∴∠DBE＝90°.

∴∠E＝90°－∠BDE.

∵BC＝CD，∴∠DBC＝∠BDE.

∴∠ABD＝∠E.

∵∠BAD＝∠DAB，∴△ABD∽△AEB.

10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F.⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH.

(1)试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)当AB＝BE＝1时，求⊙O的面积；

(3)在(2)的条件下，求HG·HB的值．

解：(1)直线BD与⊙O

相切．理由：连接OB.

∵BD是Rt△ABC斜边上的中线，∴DB＝DC.

∴∠DBC＝∠C.

∵OB＝OE，

∴∠OBE＝∠OEB.

又∵∠OEB＝∠CED，∴∠OBE＝∠CED.

∵DF⊥AC，∴∠CDE＝90°.

∴∠C＋∠CED＝90°.

∴∠DBC＋∠OBE＝90°.

∴BD与⊙O相切．

(2)连接AE.

在Rt△ABE中，AB＝BE＝1，∴AE＝根号2.

∵DF垂直平分AC，∴CE＝AE＝根号2.∴BC＝1＋根号2.