将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．

（1）将图1中△A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；

（2）在图2中，若AP1=a，则CQ等于多少？

（3）将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转到△A2B2C（如图3），点P2是A2C与AP1的交点．当旋转角为多少度时，有△AP1C∽△CP1P2？这时线段CP1与P1P2之间存在一个怎样的数量关系？

考点分析：

相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．

题干分析：

（1）根据△A1B1C和△ABC是两个完全一样的三角形，顺时针旋转45°两个条件证明△B1CQ≌△BCP1，然后可求证：CP1=CQ；

（2）作P1D⊥AC于D，根据∠A=30，∠P1CD=45°分别求出P1D=AP1/2，CP1，而AP1=a可求CQ．

（3）当△A P1C∽△CP1P2时，∠P1CP2=∠P1AC=30°，再根据相似求出CP1与P1P2之间存在的数量关系．